随着时代的发展，各国数学教育工作者普遍面临着一个极为棘手的难题 ，一方面，现代社会处处充满着数学，每个人都应掌握大量的数学知识，以便更好地适应日常生活；另一方面，现代数学越来越只能为少数人所理解 ，甚至没有一位数学家可以有信心地说他谙熟现代数学的所有方面 . 我们认为，正是这一难题构成了现代数学教育发展的主要矛盾。

     在我国 . 随着经济的发展和教育普及程度的提高 ，这一矛盾早已显现，并日益尖锐化。它已经构成为我国本世纪末、下世纪初数学教育发展的内在动力要素。问题的关键是我们如何科学地把握这一矛盾 ，形成解决矛盾的理论基础和实践体系，促进我国的数学教育事业的健康发展。

     与此同时，我国的现行数学教育体制还出现了一个令人尴尬的现象 : 现行中小学数学内容 ，有些学生掌握不了，而且学了也没用 ( 甚至会产生负作用 ), 但考试指挥棒迫使他们非学不可；而很多既有实用功能 ，又有智力价值，并且能够联系学生的生活实际，可以让学生掌握的内容，却又学不到。这种状况集中地反映了我国现行数学教育体制的弊端 ，说明当前我国的数学教育现状严重滞后于数学和社会发展，必须寻求新的教育改革思路。

     几年来的研究表明 . 解决上述矛盾的根本出路在于 ，用大众数学的思想改造传统的数学教育理论与实践体系。

一、关于改革必要性的思考  

    l ．尝试着去感受社会未来的发展
     社会处在变革之中，无论是未来学家、社会学家，还是经济学，家，谁都无法清楚而准确地表述我们所处的社会究竟是什么状况；谁都无法断言未来的几十年里必将会出现什么样的变化。科学家做不到这一点 ，即使强有力的政府也很难做到这一点！但是，我们不是不可知论者。事实上，我们每一个人对社会、对未来都有所认识 ，甚至都能或多或少地感受到 21 世纪的气息一一新世纪的中国要求人们必须具有更高的数学修养。众多的迹象都表明了这一点：

    (1) 科学技术的迅速发展 ，特别是以计算机为标志的信息时代的到来，要求人们具有更高的数学修养。事实上，现代高技术越来越表现为一种数学技术。这一点在海湾战争中表现得尤为突出 ，海湾战争实质上是一场电子战，而所谓电子技术归根到底是数学技术，无论从武器装备、兵力部署直至后勤保障 ，特别是战争过程的预测，所有这一切都首先借助于计算机模拟并通过计算机协调来实现。因而，高科技的发展、应用 ，把现代数学以技术化的方式迅速辐射到人们日常生活的各个领域。智能机器人、办公自动化以及计算机储蓄、售货和私人电脑等电子产业将高速发展。新产品的开发研究、工程技术中的技术革新乃至人们日常生活中的许许多多事情 ，都将通过计算机模拟得以实现。据统计，发达国家中从事信息产业的人数占就业人口的 50% 左右，以此推算 ，到 21 世纪中叶，. 我国要跻身于世界强国之林，就需要数以亿计的人从事第四产业。可以预测，未来的几十年内 ，大多数职业必将要求从业人员具有收集、分析和处理资料、信息的能力，而作为一个普通百姓，" 计算机盲 " 象今天的文盲一样可以生活下去 ，但过得不会很自在。作为培养下个世纪上半叶科学、技术工作者和劳动大军的中小学主要课程的数学必须有一个全新的 " 视野 ", 以适应这种变化。

    (2) 市场经济需要人们掌握更多有用的数学。毫无疑问 ，社会主义市场经济将成为今后几十年我国人民社会政治生活、经济生活的主旋律。过去，在计划经济体制下，从广大百姓到厂长、经理直至高层领导干部 ，其一切经济活动就是生产一一完成上级制度的计划、超额完成计划，不管经营，不论效益。然而今天，特别是今后几十年 ，随着市场经济的逐步完善，无论是城市还是乡村，无论是沿海开放地带，还是内陆不发达省份，几乎每一个生产者同时都必须是合格的经营者 ，产品质量、市场销售将与个人利益直接挂钩。因而，成本、利润、投入、产出、贷款、效益、市场预测、风险评估等一系列经济名词将成为人们社会生活中使用得最为频繁的词汇。同时 ，人们日常生活中的经济活动更为丰富多彩，买与卖、存款与保险、股票与债券 …… 几乎每天都会碰到。相应地 ，与这一系列经济活动相关的数学，如比和比例、利息与利率、统计与概率、运筹与优化以及系统分析与决策 ……, 理应成为数学课程中的 " 座上客 " 。

    (3) 人们生活质量有待数学知识的丰富而提高。随着生活水平地的改善 ，人们的饮食、穿着、住房、交通和通讯条件将会出现极大的变化。过去，人们迫切追求的是从无到有，得到温饱、实现小康而身心健康等一系列更高层次的目标。特别值得一提的是 ，以往人们局限于自己狭小的生活空间，村、镇、乡、县城是绝大多数中国百姓所能见、所能想象的地理空间。下个世纪 ，随着交通工具的现代化，人们经济活动的频繁，生活水准的提高，世界将会变得很小，私人汽车、旅游度假、因公外出、出国观光以及国际国内长途、国际国内航线 ，这一切，平常百姓将不再陌生。而伴随着这一切的出现，需要人们具备更多的能有效运用的数学知识、思想和方法。

    (4) 数学语言正在生活化 ，或者说生活中需要越来越多的数学语言。数学语言可以说是迄今为止唯一的世界通用语言。以准确、简明、抽象著称的数学语言正越来越多地进入人们的日常生活。 "+ 、－ " 号、降雨概率通过电视涌入千千万万家庭 ，儿童日复一日耳濡目染 ( 可是，我们中小学数学课程中，直至初中一年级学生才有机会接触到正、负数；到高中才可能了解概率的内涵 ) ；各种统计图表、比例、分数、小数、百分数符号频繁见于报端；生产进度、交通事故、股市行情等迥然不同的领域却在运用着几乎同样的数学手段向各行各业的普通百姓传递着大量的信息。铁道部门有一条规定 ，旅客所携行李外观大小限于长、宽、高之和不超过 160cm，这意味着南来北往的每一位旅客应对物体长、宽、高的概念有准确的理解 ，并能灵活运用，因为这是一个典型的不定方程问题；又譬如，以往学校的成绩报告单上只有各学科百分制的成绩 ，现在却有相当多的学校引进了标准分，就是说，作为学生家长的普通公民，应具有更多的统计常识至于高考语文、数学以 120 分计分,体现了数学上的加权思想 ，这类事例更是俯拾皆是。

     总之，数学正以前所未有的方式向社会的一切领域渗透。详细资料请参阅本书 " 数学与现代社会 " 部分。

    2 ．重新认识数学
     随着以计算机为标志的现代计算工具的出现，今天的数学再象当年恩格斯那样仅仅用一句 " 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学 " 来描述已经显得有些苍白无力了。这主要反映在：

     （ 1 ）数学具有了作为科学的方法论属性。以往,人们对数学的描绘就是利用纸、笔进行运算与证明 ，因而很难体会到试验、合情推理、模型模拟、矫正与调控、逐步优化与近似逼近等一系列的科学活动过程。计算机的出现 ，使这一切出现了根本性的改变。 300 年前，法国数学家巴斯卡发明齿轮式计算机，这标志着用机器代替人脑计算数学的开始； 1946 年 ，世界上诞生了第一台电脑埃尼阿克（ Electronic Numerical Integrator and Computer, 简称 ENIAC ） ，它每秒可以进行 5000 次运算。在余下的不到 50 年里，计算机已更新了 4 次。电脑作为人脑的延伸 ，具有三条别的机器所不具有的特征： a. 高速、精确的运算能力。七十年代，计算机的运算速度达到 106, 即百万次；八十年代 ，计算机的运算速度已经需要以亿为单位来描述，达 109 ；到本世纪末，这个速度可以达到 1012 。如此快速的运算速度 ，且结果可信度极高，如果你让它计算一亿个数，那么它对待最后一个数字与第一个数字同样精心。 b. 惊人的记忆能力。今天的电脑存储系统可以储存整座图书馆的书籍和文献的内容 ，它不仅可以存储字符，还可以存储图象、声音。 c. 准确的逻辑判断能力。电脑跟人一样，也可以根据一些条件 ，通过逻辑推理得出问题的最终结果，而这种逻辑分析和逻辑判断功能得益于电脑被引入了逻辑代数 . 电脑的这些特殊功能 ，使得人们节省大量的时间和精力去探索大数目字、复杂性问题和更具挑战性的创造性问题成为可能。实验、尝试错误、模型模拟已经成为当今数学家或者工程技术人员研究数学、应用数学的最为常见的策略 ，而公理化体系仅仅是整理数学的一种手段。数学具有了作为科学的方法论属性，因而，随着计算器、计算机引入课堂 ，中小学生有权利更多地通过数学学习活动体会科学研究的基本方法：观察、尝试、合情推理、建立猜想与实验验证。这种研究方法的熏陶 ，将使人终生受益 .

    (2) 数学是关于客观世界的模式的科学 ( 从这个意义上讲 ，数学也是一门技术 ) 。这种观点正在被越来越多的人所传播。无论是数、关系、形状、推理，还是概率、数据分析和抽样 ，它们都是人类发展进程中对客观世界的某些侧面的数学把握的反映。数学思维常常由抽象开始，逐级概括发展起来 ，它注重事物间某种共性，并用适当的符号（如数字、字母、图表、几何形状以及某些特别的标志）表示。每一种抽象符号及其相关的运算体系代表着一类事物的结构。人们可以忽视某些无关因素 ，而思考更为本质的问题。数学家们称之为定量思维 ① 。所谓定量思维是指，人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型 ，用数学计算出此模型的解或近似解,然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的软件包 ，以便得到更广泛的、方便的应用。正是在这种意义上，人们称数学不仅是一门科学，也是一门技术。现实地谈论这一观点 ，我们发现，无论是宇宙飞行器的运行、轨迹推算，海湾战争中的 " 沙漠风暴 " 计划 ，汽车造型、工业设计中的计算机模拟，还是医学界用数学语言描述专家的经验制成的专家诊疗系统，乃至人们日常生活中随处可见的时装制作、发型设计软件 ，都让人们强烈二田地感受到数学同时具有科学和技术的特性。基于这种观点，中小学三个阶段，应该让学生通过 " 数与计算 ，空间与图形，统计与概率，量与计量，方程与关系，运筹与优化 " 等基本领域反映数学研究现实世界的全貌。让学生体会到数学是从普通的人类实践中发展起来的。我们每个人的生活中都能遇到许多产生这种发展的自然的机会 ，数学教师必须抓住这些机会，并努力去培养和促进这种发展。

    (3) 数学是关于客观世界的数学化过程。数学家反省自身的研究生涯 ，发现一个基本数学过程的循环，它反复出现，形成了最基本的模式，即抽象、符号和应用。而这一模式与人类的基本认识规律是一致的。 H.Freudenthal 称之为数学化一一即数学地组织现实世界的过程，" 毫无疑问 ，学生应当学习数学化，自然先在最低层次，对非数学事物进行数学化（使之合乎数学精确性要求）以保证数学的应用 ，接着还应进行下一层次，至少能对数学事物进行局部组织，…… 应当懂得，没有数学化就没有数学，没有公理化就没有公理系统 ，没有形式化也就没有形式体系，...... 。 " 学生 " 数学化 " 的过程 ，就是将学生的数学现实进一步提高、抽象的过程。然而，现行中小学数学课程绝大多数内容局限于 " 数、式及其运算 " 和 " 平面几何与证明 ", 学生们见不到数学的全貌 ，更无从体会数学的全过程。新的课程改革方案试图通过 " 问题情境一一建立模型 -- 解释与应用 " 的基本教材体系 ，作较为彻底的改进。

    3. 重新认识学生
     本世纪中叶以来，随着现代认知心理学的产生与发展，国际上一些著名的心理学、教育学理论，无论是皮亚杰的发生认识论，布鲁纳的认知结构与发现法 ，加涅的层次学习理论，奥苏贝尔的有意义学习理论，还是加里培林的活动理论，以及赞可夫的教学与发展乃至席卷原苏联的合作教育学 ，所有这一切理论角度各异，但综合起来，我们认为以下几点值得强调 :

     （ 1 ）学生不是一张白纸 ，即使是一年级的儿童，他们也有着丰富的生活体验和知识积累。这其中就包含着大量的数学活动经验，特别是运用数学解决问题的策略。

     （ 2 ）每个学生都有自己的生活背景、家庭环境 ，这种特定的生物的和社会文化氛围，导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略。
现代生物工程及生理心理学的大量研究表明，来自父母遗传基因的新生儿素质具有极强的稳定性。害怕、好斗、害羞等等性格特征的形成，其遗传因素起着关键性的作用。对 " 胆小 " 儿童的试验表明 ，后天的教育训练，可以减轻儿童的恐惧程度，但不能塑造出一个勇敢者。在教育与遗传环境的关系问题上，我们应该持一种客观的态度。

     （ 3 ）学生的学习不是一个被动吸取知识、记忆、反复练习、强化储存的过程。一个有意义的学习过程是学生以一种积极的心态 ，调动原有的知识和经验尝试解决新问题，同化新知识，并构建他们自己的意义。

     （ 4 ）所有的新知识只有通过学生自身的 " 再创造 " 活动 ，使其纳入自己的认知结构中，才可能成为一个有效的知识。正象 H.Freudenthal 指出的 "…… 学一个活动的最好方法是做 ……" 。对于每一个学习的主体 ，没有活动、没有做就形不成学习。

     （ 5 ）从现实中学数学、做数学。这里的现实是相对于儿童所言。布鲁纳有一句名言 ，任何一个知识都能够以一种合适的方式教给任何一个年龄的学生。我们认为：一个新的数学分支（特别是它的原始生长点）如果能够以与学生的年龄特征、生活经验相适应的方式（即以对儿童来说是现实的方式）出现 ，就能被学生所感知，为学生所接受。

    (6) 让学生体验做数学的成功乐趣 ，树立学好数学的自信心。心理学研究表明，当学生 " 学会 " 时，享受到数学活动的成功的喜悦 ，就能强化学生的学习动机，使他们更热爱数学。

    4 ．重新估价我国的数学教育现状
     建国 40 多年来，我国中小学数学教育事业有了长足发展。特别是近年来我国学生在多次国际数学奥林匹克竞赛中以及相关国 | 际教育成就评价中 ，都取得了令世人瞩目的成就。然而，我们不能因此轻视我们的危机所在。

    (1) 数学课程目标滞后以至脱离社会发展的需求轨道。这主要表现在：长期以来我国中小学数学课程一直在苏联 " 学科中心主义 " 课程模式的笼罩下 ，固守着他们早已改变了的传统的数学知识体系，学生在校学习的仅仅是 16 、 17 世纪以前的数学。随机事件、抽样、数据统计与处理、规划与统筹、决策分析、优化思想以及数学建模等一系列现代社会所必须的公民数学修养内涵在数学课堂上几乎无处寻觅。同时 ，迄今为止我国小学、初中数学教学大纲中，仍然以计算（运算）能力、逻辑推理能力及空间观念为核心。事实上 ，随着技术时代、信息社会的到来，对公民计算能力的要求已大大降低；逻辑推理能力则因局限于以平面几何为载体的三段论训练模式为重点 ，而陷于困境 ;" 空间观念 " 一词虽然提得很好，但小学、中学的数学课本中，除了几个简单几何体的体积、表面积计算外 ，几乎没有任何别的三维空间的内容，" 空间观念 " 形同虚词。而现代社会所必须的与数学的现代发展趋势一致的数学建模能力〔收集数据、分析数据、发现问题、寻找规律、应用计算器（计算机）〕以及估算意识、应用意识、创造意识都被拒之于教科书之外。  

     （ 2 ）数学课程内容存在着严重的缺陷。与国际上主要发达国家相比 ，我国中小学数学内容主要存在以下几方面的问题
    a. 知识面狭窄。从小学到初中，数学内容主要局限于数、式及其运算与平面几何两大方面，它们几乎占用了总教学时数的 80% 。在国外 ，数学课程往往同时通过 " 数学及其应用、实数、图形与空间、代数与函数、统计与概率以及数据处理 " 等众多领域来试图反映数学的全貌。

    b 某些知识单元的教学要求偏高。这个问题在一些传统内容上表现得尤为突出 ，如实数范围内的运算、代数式的恒等变形、欧氏几何中的推理证明等。而令人难堪的是，这些内容恰好是计算机可以做的 ，而且它们在日常生活和生产中也很难发现其用途。

    c. 不少内容陈旧、过时。现行的中小学数学课本中 ，大量充斥着繁杂的 + 、一、 × 、 ÷ 、乘方、开方运算、分式运算；代数式恒等变形，在现代数学和人类文明生活中起着微不足道的作用 ，却被视为中学代数的核心内容，要求学生反复地学习和练习；缺少方程思想的 " 去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数系数 " 的一元一次方程解法程序 ，成了方程教学的重点；学生在学习中所解决的是大量人为编造的 " 应用 " 题（按类型选材、题材虚构且远离学生生活、纯文字叙述、条件与结论的获得完全一致、答案唯一 …… ）；特别是平面几何 ，时至今日，世界上也许唯独中国学生的课本中仍然保留着如此完整的欧几里德几何体系。而对于实际生活中应用广泛的统计、数据处理、概率等内容 ，却重视不够。

    d. 忽视数学的实际应用。学习数学的重要目的在于用数学决日常生活和工作中的实际问题。但我国的中小学数学课程 ，忽视数学的实际应用，不注意培养学生的应用意识与应用能力，偏重于脱离实际的机械训练和题型教学。在学生的练习中 ，充斥着大量人为编造的应用题，这些题都是可解的，且有唯一正确答案，条件又都是恰好的，没有多余信息。长期、大量的练习结果是导致学生思维的僵化。测试表明 ，面对这样的问题 -- 一条船上有 25 头牛 ,85 只羊，问船长的年龄有多大一一竟有不少学生用 85 与 25 的差作为结论。在第二次国际教育成就评价中 ，我国学生数学测试的平均正确率为 80%, 名列参加测试的 21 个国家和地区之首。但对测试结果的进一步分析发现 ，我国学生对涉及实际情景的问题，成绩并不好。例如，有一道题用图给出甲、乙两地间的三条路线，且用数字标明每一条路线的长度 ，要求回答最短路线是多长。我国学生得分率是 81.1%, 列第 15 位。另一道题，用图给出一个人骑自行车所走的路程和所花费的时间 ，要求看图回答这个人一共骑了多少千米，他在旅途中停留了多少分钟，在旅途的最后半小时里他骑了多少千米。结果 ，我们的学生这道题的得分列倒数第六。

    e. 课程缺乏弹性。上述 " 窄而深 " 的数学课程格局 ，却要求每个学生都必须掌握，这是极不科学的。难怪在义务教育新教材试验的效果评价中仍然有 2/3 的学生不能达到大纲规定的教学要求 . 同时 ，学有余力的学生也得不到应有的发展。

    f. 占有课时最多 . 第二次国际教育成就评价表明 ，我国 13 岁学生周数学课堂学习时间最长，达 307 分钟 . 而 21 个参加国或地区的平均数是 217 分钟（一般在 180~230 之间）。我国用于数学课堂的时间每周要高出 80 分钟以上。而且 ，每周课外做数学作业的时间，我国 37% 的学生回答多于 4 小时，而大多数国家的多数学生的回答是每周 1 小时或少于 1 小时。

    5. 把握国际数学教育发展的方向
     八十年代末、九十年代初，世界各主要发达国家纷纷开始对本世纪以来各自数学教育的发展历程进行全面的考察，出台了一系列数学教育发展纲要和数学课程改革蓝图。为此 ，我们对美国、英国、法国、德国、瑞典、日本和前苏联等七国的有关资料进行了较为详尽的分析。

     （ 1 ）关于中小学数学课程目标
     世界各国有关数学教育目的的提法是不尽相同的，这是因为数学教育目的不仅仅与数学有关，而且与各国的文化背景、社会现状、哲学观念等有密切联系。尽管如此 ，各国的数学教育目的也反映出一些共同的趋势。我们认为，问题解决、数学应用、数学交流、数学思想方法以及能力和自信心等问题值得我们重视。

    a. 问题解决
     重视问题解决是各国课程标准的一个显著特点。美国课程标准把 " 能够解决数学问题 " 列为学校数学要达到的五个课程目标之一（其余四个分别是 : 懂得数学的价值；确信自己的数学能力；会进行数学交流；掌握数学的思想方法）；在其分项标准中，" 数学用于问题解决 " 居于首位；答案开放型的问题的提出、表述及其解决策略都是美国课程标准竭力加强的内容。瑞典的课程标准认为，" 数学课的根本目的是使所有学生获得解决他们日常生活中遇到的数学问题的能力 " 。法国的教学大纲也指出： "…… 更重要的 ，是学生应该运用所学知识解决自己在实践中遇到的问题。 " 英国的课程标准旨在让学生学会解决问题的内容占有重要地位 ，比如，提出问题、制订计划、预测答案、检验结果等等。前联邦德国巴伐利亚州在 5-8 年级数学教学计划的 " 目的与任务 " 中要求 " 使学生能合乎 …… 解决问题地思维。 " 使学生 " 有能力在其它学科和日常生活中解决数学问题 " 。

     值得指出的是，问题解决不仅是一项数学课程的目标 ，它还是一个发现的过程、探索的过程，使学生实现 " 再创造 " 数学的过程。学生借此过程可以认识和理解数学 ，因此，问题解决同时也是实现数学教育目的的重要手段。此时，问题解决就独立于一般的具体数学内容而成为数学学习的重要方面。

     以美国为例：美国的课程标准认为 ，问题解决不是一个清晰的课题，而是一个过程，在这个过程中渗透完整的计划、提供能够学到的概念和技能内容 ，通过这一过程，使学生体验到数学在其周围世界中的作用 . 从美国课程标准对问题解决所制订的目标要求可以进一步看出这一点 ，例如 5 年级 ~8 年级 :

    (Ⅰ) 通过问题解决认识和理解数学。  
    (Ⅱ) 把数学和非数学的问题情景表述成数学问题。
    (Ⅲ) 学会和应用各种策略解决问题。
    (Ⅳ) 根据问题的原始情境解释答案。
    (Ⅴ) 概括解决新问题的方法和策略。
    (Ⅵ) 建立应用数学解决问题的自信心。

     当今世界正在迈向信息社会 ，信息的传递异常迅速，人们必须随时根据变化了的情况进行决策、做出选择 . 数学教育的目的并不仅仅是为了让学生学到一些数学知识 ，重要的是让学生会在这个充满疑问、有时连问题和答案都是不确定的世界里生存的本领。近二、三十年来，国际上工、商、医、农各界都逐渐雇用具有更多的数学修养的人才 ，其目的正是想借助数学知识在错综复杂的境遇中，对实际问题做出有条理的分析和预测，以便最后决策。

     由此不难看出，强调把数学应用于现实世界、解决实际问题的 " 问题解决 " 的兴起绝非偶然。

    b. 数学应用
     强调 " 问题解决 " 必然强调数学应用，因为解决问题既要用到数学的知识和原理，又要用到数学的思想方法。所以 ，强调数学应用是各国课程标准的又一共同特点。

     前联邦德国所属各州的数学教学计划是根据联邦文化教育部长会议确定的原则制定的 ，这个原则强调理论与应用结合，强调内容的实用性，即重视通过数学教学获得的知识能在日后的学习与工作中得到直接的运用。
日本小学算术教学总目标中规定： " 培养学生对日常事物进行有条理的思考的能力，明白数学处理的长处，并培养学生自觉地把数学应用于日常生活的态度 " 。

     美国的课程标准贯穿着一个始终不变的主线 ，这就是学习和应用数学。

     值得指出的是，各国课程标准在强化 " 数学应用 " 的目标下 ，所采取的课程策略主要有以下几条途径：

     （ Ⅰ ）增强现代数学中更具有广泛应用性的数学内容 ，如统计、概率、线性规划、系统分析与决策以及估算等。这些内容中的大多数不是设置在算术、初等代数、初等几何等传统课程之后 ，而是与它们并驾齐驱，而且所占内容比例、时间比例都有渐增之势。
     （ Ⅱ ）改造传统的中小学数学内容。用增强应用、强调从生活实际和学生知识背景中提出问题以发展数学概念的观点对传统的中小学数学内容进行了根本性的处理。
     （ Ⅲ ）增强实践环节。前西德巴伐利亚州的中学数学教学计划中有一项学习内容 " 一起设计计划与实施 ", 其相应的教学建议是 " 以现实课题和学生兴趣为出发点 ，以专业课的问题或实用专业的问题为出发点，例如，经济计划（旅行、购买摩托车、办学生报）、生产计划（礼品、衣架、衣服）、民意调查（职业愿望、业余时间爱好） ，选定一个项目，明确计划，考虑如何获得所需信息，分配工作，实施计划，将单项结果汇集在一起并进行处理 " 。美国课程标准指出： " 现实生活中的问题经常需要真正花费一些时间才能解决 ，应该鼓励学生去探求一些需要工作几小时、几天，甚至更长时间的扩展活动，比如，学校附近交叉路口的交通问题 ，需要回答一系列问题 : 如何统计，以了解交通现状；数据意味着什么；如何减少拥挤；怎样组织有说服力的论点等。 "
     （ Ⅳ ）各国都试图以某种特别引人注目的方式强化 " 数学应用 " 在课程中的地位。前联邦德国巴伐利亚州从 1 年级到 9 年级都设有 " 应用计算 " （在小学低年级是以 " 度量与应用题 " 出现的）单元 ，它与数、式、方程、函数、儿何等共同构成中小学数学的基本内容。瑞典的义务教育学校数学课程，共包括 6 方面 ，其中 " 解决日常生活中遇到的数学问题 " 被列为第 1 项，其它 5 方面分别为实数、几何关系、代数和函数基本理论、统计学与概率、计算机应用和数据处理。最值得一提的是 ，在英国国家统一课程标准中，把中小学数学课程列为 5 大领域，它们分别是：使用和应用数学、数、代数、形体和空间、数据处理。 " 使用和应用数学 " 是其中的一个方面 ，而且是第一方面。同时，标准还就这一领域设计了 10 个水平，不同年龄段的学生对应着不同的水平标准，当然标准具有弹性 ，以便学生选择适合于自己的目标，如
水平 3 ：挑选用于一个课题的资料与数据，核查结果，考虑它们是否合理，阐述所做的工作并系统地记录各种发现，做出决策并进行试验水平。
水平 6 ：设计一个课题并挑选数学和有关资料，取得缺少的信息，使用 " 试验改进法 ", 用口头、书面或直观的形式表述成果，做出一般化的和简单的假设 ，并检验，以一定的精确度定义并进行推理。比如，设计并制造一个装置，以精确地测量一段给定的时间 ( 如两分钟 ) ；调查班上同学的臂长和身高 ，并用离散图表示结果。

     上述这种处理方式，对于习惯了以代数、几何为中小学主要数学内容的我们来说 ，还是很不适应的。但是，我们必须正视现实，深入研究这种发展趋势可能带来的结果。

    c. 数学交流

     教学过程必然伴随交流过程 : 教师与学生交流、学生与学生交流等等。在数学教育中 ，交流的重要性长期一直没有受到应有的重视，更没有被作为一个重要的课程目标。然而，不能忽视这样一个事实：数学在当今各学科中的用途急剧增加 ，重要的原因之一是数学能简明地表达和交流思想。

     交流对数学学习也是非常重要的。交流可以帮助学生在非正式的直觉的观念与抽象的数学语言符号之间建立起联系 ，还可以帮助学生把实物的、图画的、符号的、口头的以及心智描绘的数学概念联系起来。交流还可以发展和深化学生对数学的理解 ，因为解释、推断和对自己思想进行口头和书面的表达可以使学生加深对概念和原理的理解。  
从各国数学课程标准看，数学交流主要包括三个方面 :
     （ Ⅰ ）数学思想的表达。把自己的思想以某种形式 ( 直观的或非直观的、口头的或书面的、普通语言的或数学语言的 ) 表达出来。
     （ Ⅱ ）数学思想的接受。以某种方式 ( 听、读、看、摸等 ) 接受来自他人的思想。
     （ Ⅲ ）数学思想载体的转换。把数学思想、由一种表达方式转换成另一种表达方式。如把一个概念用图画或符号表示出来 ; 把图表或实物模型转化成符号或语言；等等。

     各国的课程标准在处理数学交流方面存在着差异。

     美国课程标准明确把数学交流作为课程目标之一 ，确定了数学交流的目标要求一一  

     幼儿园 ~4 年级：
     （ Ⅰ ）把实物材料、图片和图表与数学概念联系起来。
     （ Ⅱ ）理清对数学和数学情境的理解。
     （ Ⅲ ）把学生的日常用语与数学语言和符号联系起来。
     （ Ⅳ ）认识到对数学的表达、讨论、读、写和听是学习及使用数学必不可少的部分。

    5~8 年级 :
     （ Ⅰ ）用口头的、书面的语言及具体的图画、图表和代数的方法模拟情境。
     （ Ⅱ ）反映并理清学生对数学思想和情境的认识。
     （ Ⅲ ）发展对数学思想的一般理解，包括定义的作用。
     （ Ⅳ ）运用读、听和观察的技能来解释和评估数学思想。
     （ Ⅴ ）讨论数学思想、进行推断、澄清疑问。
     （ Ⅵ ）欣赏数学符号的价值及其在发展数学思想中的作用。

     英国课程标准总体上没有把数学交流作为一个课程目标 ，但在有关的子目标中，反映了明显加强数学交流的倾向。比如，要求学生 " 系统地记录结果 " 、 " 记录结果并用口头、书面或直观的适当方式把它们表示出来 " 、 " 解释用口头、书面或直观形式表示的数学资料 " 、 " 使用口头的、书面的或直观的形式表示结果 " 等。

     法国教学大纲在目的中也提到：使学生 " 能准确地表述 " ； " 使学生在书写和口头方面形成能清楚表述的习惯 " 。

     前联邦德国巴伐利亚州的数学教学计划中指出 ，数学学科传授数学的 " 表达手段 " ,并教学生应用它们。

     日本中学数学大纲把 " 获得数学表达 " 作为目的之一。

     在我国，无论理论上还是实践中 ，对数学交流重要性的认识还很不够。如果我们能在义务教育的背景下考虑我们的数学教育一一一种大众文化教育；同时 ，考虑我们今天所处的社会对数学的依赖程度，那么数学交流的重要性不就是很明显的了吗 ?
国际上著名的 "Cockcroft 报告 " 指出：数学提供了一种有力的、简洁的和准确无误的交流信息的手段，正是这一点，构成了学生之所以学习数学的最为重要的理由。

    d. 数学能力

     数学能力的提法对我们并不陌生 ，但是，在中小学数学教学中如何把握数学能力的实质，摆正它的位子，却存在着巨大的差异。纵观各个发达国家的数学课程标准可以发现 ，人们对中小学数学能力的处理有两种基本取向，即 :

     （ Ⅰ ）采取务实的态度 ，淡化数学能力的提法。
     现代教育心理学的研究，已摆脱了对 " 能力 "…… 一词的空泛的讨论，而更多的关注 " 认知方式、认知策略、思维技能 " 的研究。这一点在各国数学教学大纲中也有所反映。

     在英国国家统一课程标准中 ，只字未提 " 能力 " 一词；

     在瑞典的义务教育数学课程中 ，有几处提到能力问题，比如运算能力、解决日常生活中的数学问题的能力、想象力等等。这些提法比较分散，含义也不统一。这意味着：数学能力 " 没有构成这一课程的 " 中心词 " ；

     美国的数学课程标准同样具有上述风格。其核心内容一一 13 项标准中 ，有问题解决、数学交流、推理、估算等，但没有 " 数学能力 " ,只是在具体的阐述中出现了一些缺乏设计和认真界定的各种提法 ，如数学洞察力、推理能力、解决问题能力、对数学的欣赏能力以及交流问题的能力、理解力等等。

     （ Ⅱ ）强调数学对发展人的一般能力的价值 ，淡化纯数学意义上的能力结构。
     在各国的课程标准中，从能力的角度，出现频率最多的是那些在一般智力结构中占有重要地位，同时又是数学教学有可能培养的能力 ，比如观察、分析、综合、归纳、概括以及想象和形象思维。这一点在法国和前西德巴伐利亚州的教学大纲中反映得较为明显。  
同时，几乎所有国家 ( 英国除外 ) 的课程标准中都提出要 " 发展学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力 ", 这也正是上述趋势的具体体现。

    e. 数学思想方法

     世界各国都已认识到 ，在当今和未来社会的许多行业，直接用到学校数学知识的机会并不太多，而且也不是固定不变的，更多的是受到数学思想的熏陶与启迪 ，以此去解决所面临的实际问题。

目前，在处理中小学数学思想方法上有两种基本的思路：

（ Ⅱ ）主要通过纯数学知识的学习，逐步使学生掌握数学的思想和方法，特别是一些具体的、技巧性较强的方法 ，如换元法、因式分解法、公式法等。即 —— 逐步概括。

（ Ⅲ ）通过解决实际问题使学生在掌握所要求的数学内容的同时，形成那些对人的素质有促进作用的基本的思想方法 ，如试验、猜测、模型化、合情推理、系统分析等。即 —— 发展并概括

     主要发达国家倾向于第二种处理方法。

     从数学教育思想的角度考察各国课程标准 ，还有许多值得注意的问题，比如 " 自信心 " 的问题，就不止一个国家提出了这方面的教学要求 ，而且 " 自信心 " 不是作为教学手段 ( 以学习好数学为目的 ) 提出的，而是作为数学教育的最终目标之一提出的。

     以往的教育是把数学作为一个 " 筛子 " 来淘汰人的 ，而不是作为一个 " 泵 " 来发展人的，其结果导致一代一代的年轻人在数学面前，自信心受到极大伤害 ，以一种被淘汰者的心态走向社会。

     把自信心的培养作为数学教育的一个基本目标 ，这将会从根本上影响数学课程的设计，因为，以培养自信心为目标的课程必然要求数学走出 " 王宫 ", 走下 " 金字塔飞走向大众 ，走向生活。只有这样，才有可能使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，并在这一系列过程中获得自信。

    (2) 关于数学教学内容

     教育思想、课程目标的改变 ，导致各国中小学数学教学内容的变革。这主要表现在：
    a. 拓宽知识面，使学生尽早体会数学的全貌；
    b. 注重现代数学思想方法的渗透；
    c. 重视在应用数学解决问题的过程中，使学生学习数学、理解数学；
    d. 加强几何直观，特别是三维空间图形的认识，降低传统欧氏几何的地位，特别是欧氏几何对演绎推理的作用，用现代数学思想处理几何问题 ;
    e. 较早引入计算器、计算机，发挥现代技术手段在探索数学、解决问题中的作用。

     我们认为，社会的进步、数学的发展、国际数学教育的发展态势 ，以及学习心理学的研究成果和义务教育的基本精神，所有这一切都在孕育着一个崭新的数学教育新时代一一大众数学时代。

     实际上，在我国，" 大众数学思想 " 有着良好的生长土壤。

     首先，中国古代数学和数学教育具有很强的大众性。

     以《九章算术》为杰出代表的中国传统数学与以《几何原本》为代表的古希腊数学迥然不同 ，它们分别代表了中西方古代数学文明的杰出成果，如果说《几何原本》是一种 " 贵族 " 数学的话 ，那么《九章算术》无论从思想方法、还是成果以及成果的表达形式和成果利用上都带有浓厚的大众色彩。可以说 ，我国古代数学以解决实际问题为最终目标，一切从实际问题出发，形成算法，寓理于算 . 并进一步应用于解决各种实际问题 ; 同时 ，数学的内容、思想和方法的发展不受主观意志的而非客观科学的理论框架的限制，注重实际效果（如负数、无理数的创立） ，并且在内容的表达形式上以归纳体系为主；等等。

     其次，新中国数学教育发展进程已经表现出向 " 大众数学 " 演化的渐变态势。新中国成立后 ，数学教育经历了曲折的发展历程，进入八十年代之后，通过总结国际、国内正反两方面的经验教训，对数学教育不断调整 ，以适应义务教育下的新形势。尽管，现行的数学教育体系与 " 大众数学 " 相距甚远 ，但 40 年的发展已表现出一种向 " 大众数学 " 演化的渐变态势。特别引人注目的是 ,1993 年在全国试行的《义务教育初中数学教学大纲》 ，第一次在 " 教学目的 " 部分明确 " 解决实际问题主要是指解决带有实际意义的和相关学科中的数学问题 ，以及日常生活和生产中的实际问题；在解决实际问题过程中，使学生受到把实际问题抽象为数学问题的训练，逐步培养他们分析问题和解决问题的能力 ，形成用数学的意识。 " 这一重大变化，对我们深入研究大众数学无疑是极大的鼓舞。

     我们坚信，" 大众数学 " 不只是一个口号 ，更非权宜之计。它随着义务教育的实施而产生，也将伴随着义务教育的发展而实现永恒 . 因为，从教育的角度看 ，大众数学就是义务教育的基本精神在中小学数学教育的反映。它代表着一种新的数学教育思想和实践体系。

二、大众数学的基本目标及其实现策略

     大众数学意义下的数学教育体系所追求的教育目标就是让每个人都能够掌握有用的数学 ，其基本含义包括以下三个方面。

    1. 人人学有用的数学。没有用的数学 ，即使人人能够接受也不应进入课堂。在我国，几千年的封建文化，从隋唐开始的科举制度，导致语文教学中普遍存在着严重的 " 八股文 " 一类的坏语文。同样 ，数学教学中也存在着类似的坏数学，教学这类坏数学，除了应付考试外，对学生的发展没有其它任何积极作用，训练多了反而防碍学生的智力发展 ，扼杀孩子们的求知欲望。因此，作为大众数学意义的数学教育，首要的是使学生学习那些既是未来社会所需要的 ，又是个体发展所必须的 ; 既对学生走向社会适应未来生活有帮助，又对学生的智力训练有价值的数学。学生在义务教育阶段要学习的东西很多 ，我们不可能让学生在这样宝贵的时间内仅仅学习从属于哪一种价值 ( 或需要 ) 的知识，而必须设计出具有双重价值乃至多重价值的数学课程。其实 ，即使象 " 测量 " 这类纯 " 实用数学 " 的知识，只要从量化的数学根本观点来精心设计就可以对发展学生的一般能力、数学修养和科学精神起积极作用。可惜 ，这种数学的精髓，在 " 纯数学 " 中被抛弃了。

     在德国，面对错综复杂的历史史料 ，历史学家们提出 " 再过 2000 年，如何给我们的孩子讲德国历史 ?" 其实 ，数学教育存在着同样的问题：据估计由数学家组成的全球 " 数学共同体 ", 每年至少 " 生产 "20 万条新的定理。它们对中学课程意味着什么呢 ?

     我们认为，所谓有用的数学有显性和隐性之分。

     显性的数学包括重要的数学事实 ，基本的数学概念和必要的处理数学以解决问题的技能。

     隐性的数学则集中反映为具有数学元认知作用的各种思想意识（如函数思想、统计思想、优化思相和计算机意识、应用意识等等）；具有
     智能价值的数学思维能力 ( 如主要用于分析问题的模型化能力、主要用于解决问题的应用能力，以及一般智力意义上的推理能力 ) 以及具有人格建构作用的各种数学品质 ( 如热爱科学、追求真理的求实、创新精神 ，一丝不苟、勤奋学习的科学态度 ) 。

    2. 人人掌握数学。实现人人掌握数学 ，有多种措施。布鲁姆的掌握学习理论通过改革教学策略一一及时反馈、及时强化等手段来实现 " 人人掌握 " 的目标。至于人人掌握的那些数学是否有用、是否反映了社会的需要和数学的发展趋势以及学生是否感兴趣 ，这一切都不是掌握学习理论所关注的问题。而 " 大众数学 " 意义下，实现人人掌握数学的首要策略正是课程改革策略一一让学生从现实生活中发展数学 ，删除那些与社会需要相脱节、与数学发展相背离、与实现有效的智力活动相冲突的，并恰恰是导致大批数学差生的内容 ，如枯燥的四则混合运算、繁难的算术应用题、复杂的多项式恒等变形以及纯公理体系的欧氏几何；同时，在突出思想方法 ，紧密联系生活的原则下增加估算、统计、抽样、数据分析、线性规划、图论、运筹以及空间与图形等知识；使学生在全面认识数学的同时 ，获得学好数学的自信。事实上，学习数学的自信心与掌握数学是互为因果，相互促进的。

    3. 不同的人学习不同的数学。前文论及 ，不同的人有不同的思维方式，不同的兴趣爱好，以及不同的发展潜能。 " 大众数学 " 要求数学课程面向每一个人 ，因此新体系下的数学课程将在使所有学生获得共同的数学教育的同时，让更多的学生有机会接触、了解乃至钻研自己所感兴趣的数学向题 ，最大限度地满足每一个学生的数学需要。从这个意义上讲，大众数学与精英数学并不对立。恰恰相反，精英数学教育是大众数学教育体系的有机组成部分。大众数学意义下的数学课程提供了更为广泛的现代数学分支的原始生长点 ，它为对数学有特殊才能和爱好的学生提供了更多的发展机会。

     由此可见，大众数学的基本目标的实现 ，主要地决定于课程改革策略的设计与实施。

三、数学课程改革的基本思路

     上文已经论及数学课程改革问题 ，大致可以归结为以下两个观点 :

     首先，数学课程改革应与义务教育的精神相一致 ，使每一个人接受必要的数学教育。然而，我国的现状是，在全国范围内，初中生同龄人的数学合格率只占 1/3 。这不得不引起人们的深思 ，如果现行教育体制下，同龄人中有百分之七、八十在数学上已经达到合格水平，那么，要实现 100% 的合格率 ，只需在内容的难度上做适当的调整并努力提高教师的教学能力和责任感还是可能的。但是，要使合格率从 1/3 提高到几乎 100%, 靠简单的降低难度 ，提高教师的水平等外部措施，则显得力不从心。

     其次，在我国的现实背景下提出 " 大众数学 ", 并深入研究 " 大众数学 ", 以至我们正在编写教材 ，试图使 " 大众数学 " 成为现实，其首要动机并不是因为有多少人学不好数学，而是因为我们提供学生学习的许多内容不是未来社会所必须的 . 既不体现数学的发展方向 ，也不为学生所喜爱 ; 与此同时 . 很多既有实用功能，又有智力价值，既能反映现代数学的全貌，又能从学生的现实背景中发展并为学生所掌握的内容 ，学生却没有机会接触到。这就是说，即使在全国范围内，现行数学课程几乎人人都能掌握，数学课程也必须改革 ，使之与未来社会的需求相一致。

     基于以上的考虑，我们认为 ，大众数学意义下的数学课程改革不能仅仅局限于对现行教学大纲的增加或删减，而需要寻求新的思路一一从哲学意义上讲 ，人的素质中最为核心的是他的世界观和方法论。

     从数学哲学上讲，数学科学中最富有生命力、最具有统摄力的是数学观和数学方法论 ，即数学思想方法。

     从数学教育哲学上讲,决定一个学生数学修养的高低 ，最为重要的标志是看他如何看待数学，如何理解数学，以及能否运用数学的思想方法去观察、分析日常生活现象 ，去解决日常生活中的问题。

     事实上，不同的人具有不同的数学观。有人认为数学是神秘的 ，高不可攀、不可理解的；有人认为数学是人造的符号体系，是严谨的、枯燥的、不可更改的；也有人认为数学是现实的、充满智慧的、人人都能体会的 ，思考数学是很有乐趣的，遇到问题尝试着运用数学去解决是明智的。

     不同的数学观，会导致不同的学习或工作行为。

     如果一个学生产生了数学艰深难懂、枯燥无味、高不可攀的念头 ，必然会导致回避数学课、回避数学教师、不接触数学读物的自闭行为。

     如果一个数学教师认为数学就是公式、法则、记忆、练习 ，那么他的课堂教学行为必然是满堂灌、注入式。

     所以，我们提出数学课程改革的基本思路 :
    1. 以反映未来社会公民所必须的数学思怒方法为主线选择和安排教学内容；
    2. 以与学生年龄特征相适应的大众化、生活化的方式呈现数学内容；
    3. 使学生在活动中、在现实生活中，学习数学、发展数学。

四、对大众数学意义下数学思想方法的理解

     在大众数学意义下，义务教育阶段的数学课程应以下面所论述的数学思想方法为主线 ，来逐一审视我国现行中小学数学内容，并以此为标准来构成新课程的框架。它们是 :

    1. 数的意识   使学生养成主动地从数量上观察、分析客观事物的习惯 ，并体会一一数的产生与发展来源于人类对客观事物的数学把握 ; 数的构成及其运算规律是生活实践的总结；数字符号是表示、交流和传递信息的最有效手段；数量关系是刻划自然界以及人类社会现象、预测事物发展规律的重要工具；估算在日常生活中 ，特别是在计算机出现之后愈显其重要性。

    2. 优化思想   寻求优化可以说是人类的一种生存本能 ，一个没有受过任何教育的儿童也知道两点问直线段最短，而且不仅是人类，整个大自然都充斥着这一现象。在我们的周围 ，优化问题几乎随处可见。例如，如何使有限的材料得到最充分的应用；如何在商品销售中，调整商品价格，薄利多销 ，获得最多利润 ; 如何在体能训练中调整训练强度和练习节奏，达到事半功倍的效果；如何利用有限的空间 ( 库房、车厢 ) 使得存贮量或货运量最大；如何合理安排人员配制 ，使全员劳动生产率最高，等等。把这些问题抽象成为一个理论问题，即是如何使系统在给定的条件下，达到最理想的效果。数学上很多分支都要讨论各自的优化问题 ，有关的最优化理论及其应用是现代数学和自然科学中最为活跃的研究领域之一。  

    3. 概率统计   在我国 ，随着市场经济体制的逐步建立，投资、贷款、股票、证券、市场预测、风险评估等日常经济行为的实现，其科学性如何在很大程度上有赖于社会成员对不确定性、随机性现象的认识 ，对概率统计思想的理解和运用水平。如果说上述经济行为还有阳春白雪之嫌的话，那么，就学、就业、住房、医疗、退休、养老等模式 ，都正在发生变化，变得可选择性越来越强，变得越来越需要减少依赖，增强自主，需要平民百姓运用自己头脑，分析判断 ，做出决策。这对于习惯于计划经济体制下按照指令工作的人们来说 . 无疑是一次巨大的观念冲突。在这众多的选择面前 ，有人如鱼得水，有人无所适从，事实上 . 不论你习惯与否，类似 " 降水概率 " 预报在向各领域拓展。有人设想 ，不久的将来 . 新闻报道中，每一条消息旁都会注明 " 真实概率 ' 气象电视节目预告中，每一个节目旁都会写上 " 可视度概率 "; 另外 ，还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率 ……. 总之，世间万物本来如此，人们只是借助于数学帮助回复其本来面目。在国外 ，人们体会最深的是机会与选择，申请助学金要选择类别；申请住房要选择房间大小；听课要选择教师、教室和时间；看病要选择医生；甚至考试内容、考试方式、考试时间、用什么语言 "…… 都得由你选择。不同的选择意味着不同的机会 ，风险大小来源于你的决策分析。因此 . 对中小学生进行概率统计思想的熏陶，应当使他们了解条件是可以变化的、结论并不总是唯一的、结论不是绝对可靠的 ，事物的多样性是普遍的，而必然性、绝对性则是相对的、有条件的 . 只有这样，才能有助于他们理解社会、适应生活。同时 ，通过概率、统计的学习，还应该使他们形成尊重事实、用数据说话的习惯，了解必然性寓于偶然性之中，体会或然推理在研究复杂事物时的作用。

    4. 函数与方程思想   函数思想是指变量与变量之间的一种对应思想 ，或者说是一个集合到一个集合的一种映射思想。它是数学从常量数学转入变量数学的枢纽，它能使数学有效地揭示事物运动变化的规律 . 反映事物间的相互联系。而方程思想则是函数思想的具体体现 ，是已知量和未知量的矛盾统一，是变量与变量互相制约的条件，它反映了已知量和未知量之间的内在联系。

     在中小学数学中强化函数与方程思想 ，主要是从当今和未来社会发展看，函数与方程思想在数学内部与外部均显得十分重要，它贯穿于数学理论和实际问题应用的每一场合。特别地 ，函数和方程是有效地表示、处理、交流和传递信息的强有力工具，是探讨事物发展规律、预测事物发展方向的重要手段。在具体数学课程设计中应及早渗透函数与方程思想。从建立模型的角度 ，利用现实生活中的现象，让学生体会正反比例函数、分段函数、阶梯函数、二元函数和一元二次函数及方程等多种数学模型 ，使学生体会客观事物
的多样复杂性与数学的统一性，体会数学的广泛应用价值。

    5. 图形直观与空间观念   人类生活在三维空间 ，理应通过拼补、折叠、描绘、测量、计算、比较与分析，认识和理解现实几何世界、直观几何、变换几何、推理几何、向量几何以及解析几何、拓扑和分形几何是人类对几何世界的不同角度的数学把握；代数化是研究几何问题的必然趋势 ，而图形直观以及图形分析是人们理解奇妙的自然世界和社会现象的绝妙工具；图形给人类带来无穷无尽的直觉源泉 ; 图形设计是人类社会赖以生存和发展的根基 ，没有图形人类就无所谓美。荷兰著名数学教育家 Freudenthal 指出 :" 几何是掌握空间 …… 即儿童所居住、生存和活动的空间。儿童必须学习了解、探索和控制空间 ，使得他们能在其中更好地居住、生存和活动。 "

     义务教育阶段，我们应把学生的几何视野拓宽到人类生活的空间 ，让他们有更多的机会了解和认识生活空间以及空间中的物体，体会更多的认识图形特征的角度和工具，并学会欣赏图形美、设计并创造美的图形。

    6. 模型化方法   数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁 ，是数学自身发展的阶梯，研究模型有帮助学生探索数学的作用，产生对数学学习的兴趣，因而在中学数学中要强化数学模型化方法。

     通常人们认为，建立和处理数学模型的过程 ，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。实际上，建立模型更为重要的是学生能体验到从实际情景中发展数学、获得 " 再创造 " 数学的绝好机会。在建立模型、形成新的数学知识的过程中 ，学生能更加体会到数学与大自然和社会的天然联系。为此，大众数学意义下的数学课程将积极探索 " 问题情景一 - 建立模型一一解释与应用 " 的课程编写模式。
前文已经论及，函数和方程是反映客观事物数量变化规律的一种模型。实际上，数、式、方程、函数、统计以及规划和组合分析都是数学反映客观世界的模型。

     中小学数学中注重数学模型化方法在我国有其相融的文化背景。中国古代数学的显著特点之一就是十分注重模型化方法的应用。中算家总是以构造精致的算法为己任 ，通过切实可行的手段把实际问题化归为一类数学模型，然后应用一套机械化的算法求出具体的数值解。随着计算器、计算机的引入 ，中小学生有可能更早地借助现代技术手段探讨更为现实、更加有趣的问题。利用软件和计算机构造模型进行预测 ，或搜集资料、整理数据、画出统计图，从而探索数据的分布和建立函数模型都是极有价值的数学训练。

    7. 推理意识   所谓推理意识是指推理与讲理的自觉意识 ，即遇到问题时自觉推测，并做到落笔有据，言之有理。推理意识包括归纳推理、类比推理和演绎推理的自觉意识。在大众数学意义下 ，推理训练不仅仅存在于欧氏几何，其更为广泛、更为深刻的内涵普遍地存在于数学的各个分支。如果我们在 " 问题情景一一建立模型一一解释和应用 " 的框架下 ，引导学生在 : 活动中、在现实生活中发展数学，那么，数学交流、合情推理、发展模式、选择合理的方法、调整矫正模式、分析和解释结论等一系列过程中都自始至终包含着推理因素。推理训练并非数学所特有 ，严格的演绎推证并非普通百姓所必须。但是，义务教育阶段的数学课程将提供广泛的包括归纳推理、类比推理在内的合情推理的训练机会以及对演绎推理的了解和体会。

    8. 计算机意识   计算器和计算机进入中小学数学课程 ，其必要性与可能性已经不容许我们再做任何讨论。更何况，国际上多项研究报告表明，中小学生使用计算器（机）利大于弊。

     培养中小学生的计算机意识 ，主要包括以下几个方面： ① 减少学生对计算机的恐惧感，成人社会对现代科学技术的恐惧、回避态度不应在孩子们身上继续扩散； ② 使学生养成运用计算机（器）等更为先进的计算工具 ，处理复杂问题的习惯 ;③ 通过对算筹、算盘、算表、手摇计算机和电子计算机的认识，理解计算工具的变化对社会发展水平的影响程度； ④ 借助计算器（机）有解决更多的问题 ，使学生更好地体会数学与现实社会的密切联系； ⑤ 使数学成了实验科学 : 通过使用计算机（器 ) 求解问题 ，使学生体会到，先进计算工具的使用 . 将更有助于激发自身的探索意识和分析问题、解决问题的能力。

     我们认为，除明确提出以上述数学思想方法为主线 ，构成义务教育阶段数学课程的基本框架外，还应有意识地渗透集合思想和极限思想。

    1. 集合思想   集合论已成为数学科学各门分支统一的概念框架 ，又可作为数学各科通用的数学语言。集合的元素可以是任意的对象，这就使数学应用的领域大大拓广，集合运算与逻辑运算之间可以建立起同构关系 ，因此渗透集合思想便可使数学与逻辑更趋于统一，从而有利于数学理论与应用的研究。

     中小学数学课程中及早渗透集合思想 ，使学生熟悉集合意义及其表示，以集合的观点看待数学研究的对象，特别是能够充分运用集合语言，表示和传达信息 ，这是现代社会生活对公民的基本要求 .
集合和集合运算的教学既可以结合实物或图形进行（因而非常具体直观），也可以发展为一般抽象的形式。所以集合思想可以贯穿于中学乃至小学高年级数学具体内容的各个部分及学生数学能力培养的各个阶段。  

    2. 极限思想   中小学数学课程中渗透极限思想主要指直观意义上的 " 极限 " 概念。从极限的发展看 ，人们也是易于接受与运用朴素的辩证的极限概念的。圆的周长与面积等概念的建立有赖于极限思想。在许多问题的研究中 ，有时需要把点看成半径为零的圆，把曲线段、折线段看成直线段，把线段看成面积为零的三角形等等，这其实也都运用着极限思想；把平行线看成相交于无穷远的二直线 ，更是辩证地运用有限与无限之间矛盾转化思想，在数学中即体现为极限思想。以上这种对极限思想朴素的、直观的然而又是辩证的理解与运用 ，将是中小学数学教学的基本要求。我们在中小学教学具体内容方面应充分提供运用极限思想的范例，显示极限思想在解决问题时的巨大威力。如定值问题 ，可用极限思想先探索定值，往往可使这类问题难度变小。同时，一些具体内容亦可借助极限思想，采用全新的处理方法（例如球表面积公式 ，可以把球体分解成许多顶点在球心的小 " 锥体 " ）。

     总之，对数学思想方法的全面把握 ，充分考虑其社会价值和在数学内在地位，是体现未来社会公民数学素养的重要标志。

五、关于高中数学课程改革

     讨论高中数学课程改革 ，首先必须对高中教育的性质、任务与培养目标有一个比较清醒的认识。

    1. 高中教育的基本特性 . 一一准定向性  

     在我国，实施九年义务教育保证了作为一个公民所必须的最基本的素养 ，它主要体现为包括知识、智能以及做人在内的多方面的基础。因此，义务教育具有典型的基础性或不定向性。而高等教育或就业后的在职培训等多种形式的社会实践教育则不同 ，它们直接为社会各行业培养不同层次的人才，因此，这一阶段的教育具有明确的定向性，是定向教育 . 寓中教育作为一个独立的阶段 ，介于不定向教育和定向教育之间，起中介过渡作用，我们可以把这一特殊的阶段称之为准定向教育。心理学研究表明 ,16~18 岁的青少年正是向多样化方向发展 ，形成稳定而健康的个性特长的重要阶段 . 这一时期，青少年的自我反省意识增强，对今后的发展前途及其社会定位的认识逐渐明朗化。正是这一显著的年龄特征 ，为高中教育的准定向性提供了理论和实践基础。

     高中阶段是对青少年实施健康的个性教育的最佳时期；而发展学生健康的个性 ，才有可能实现从素质教育向专业教育的迈进。这一点是我们重新思考高中数学课程的关键所在。 ( 参见下表 )
九年义务教育   不定向教育   素质教育

国家教育   高中教育   准定向教育   健康的个性教育
系统
高等教育或   定向教育   专业教育
社会实践教育  

    2. 以多样性为主体的、统一性与多样性相结合的课程目标

     既然高中阶段应以健康的个性教育为主 ，为学生确定自己的发展方向做好必要的准备，那么，如果说义务教育阶段的数学课程强调基本要求、核心内容，同时体现因材施教的话 ，高中阶段的数学课程则应更多地强调多样性，为学生的个性发展及将来的职业走向的多样化考虑。
显然，在上述意义下，当前的高中课程改革方案仅仅考虑到文理科的差异性是远远不够的 .

    3. 为不同走向的学生设置不同的数学课程

     考虑社会需要的多样性以及学生发展的不同特性 ，数学课程的设计应分设六大类，它们是，数理方向；工程技术方向；生物、化工和医药、农林方向；商贸及管理方向；语言与人文科学方向以及普通高中生毕业水平（体育、艺术专业的数学要求与高中毕业水平一致）。
不同大类的课程差别主要表现在内容要求上（特别是深广度、抽象性以及严谨性等方面），同时也会不同程度地表现在内容的选择和时间的安排上。

     值得强调的是，在大众数学意义下 ，即使是一名普通高中毕业生,也应该接受包括概率统计、矩阵初步、数学建模以及通俗的集合语言和直观的极限思想在内的薰陶 ，当然，体现优化思想的规划、对策、网络分析等内容也不应该被排除在外。应让所有的学生都有机会了解数学的全貌。  

    4. 形成合理的课程结构

     事实上，根据不同走向确定的各类课程中 ，相当一部分内容是一致的，差异只是程度不同而已，因此就有必要对各类课程进行重新整合，形成包括核心课程、必选课程、自选课程 ，同时又有水平差异的课程结构。

六、迈向 21 世纪

     课程改革成败的关键在教师。两年来的教材试验使我们深切地认识到 ，一个教师能否在新教材使用中驾驭自如，恰当地发挥自身的创造性和教材的优势，需要坚持以下几点：

    1. 教师应学点现代数学 ，特别是了解计算机的出现对现代数学发展的影响，更新自身的数学观，使数学课堂变得充满智慧、贴近生活、富有生命力；

    2. 教师应学点心理学 ，特别是现代认知心理学的最新进展，更新对学生的学习活动的看法，使课堂教学以激励学生、发挥学生的自主精神为主旋律；

    3. 教师应认识到自身的劳动是一种创造性的劳动 ，面对不同的学生、不同的内容，其课堂教学应该是多姿多彩的；

    4. 教师应竭力摆脱在现行考试制度下形成的一系列僵死的教条 ，努力以自己的活生生的课堂实践去发现、探索教育教学规律。

     我们诚挚的希望有更多的教师走进改革的行列。

     面向新世纪的数学课程改革方案已经启动。虽然 ，未来的路还很长，但我们坚信：只要我们一如既往地发挥集体的智慧，把握住未来教育发展的正确方向，脚踏实地 ，及时处理好前进中出现的问题，胜利终将属于矢志不渝、坚持不懈的追求者。