综合模拟四 答案

一、请解释下列概念（ 6×5=30分）

声子，布里渊区，布洛赫波，有效质量，晶格振动，倒格子

1 、 声子 是指晶格振动的能量量子，能量为 。

2 、 布里渊区 是指在一个晶格的倒格子空间中，以某一点为原点，作所有倒格矢的垂直平分面，围成的一个个封闭多面体称为布里渊区，从内向外分别为第一布里渊区，第二布里渊区等等。布里渊区即为倒格子空间中的维格纳 - 赛兹原胞。

3 、 布洛赫波 是指 晶体中的电子处在晶格周期性势场中，其波函数受到晶格周期性势场的调制，即晶体中的电子波可认为是一种被周 期性势场调制了振幅的平面波，称为布洛赫波。

4 、 布洛赫电子的 有效质量 m*是晶体中电子准经典运动的加速度对外力的响应，包括了晶格周期场的作用，一般说来，沿不同方向 m_x*,m_y*,m_z* 不一定相等，加速度与外力方向可以不同 ; 而惯性质量是经典运动的粒子的加速度对外力的响应。

5 、 晶格振动 是晶体中的原子围绕其平衡位置作微小振动的一种振动方式。

6 、 倒格子 ， 又称“倒易点阵”，是从晶格周期性出发，为使固体内各种过程和现象作理论分析时大为简化而引入的概念。设晶格的

三个基矢为 ，则定义 三个矢量为“倒格子基

   矢”，构成的空间结构称为倒格子。

二、计算证明题（ 70 分）

1 、（ 10 分）若考虑到次近邻相互作用，求二维正方结构的马德隆常数。

答：计算公式为： ， 若只考虑到次近邻，则最近邻格点为 4 个，距离为 a ，贡献因子为 1/2 ，而次近邻格点为 4 个，距离为 a, 贡献因子为 1/4 ，所以有：

2 、（ 10 分）如果将等体积的球堆积成简立方结构，则刚球所占体积与总体积之比是多少？

答：在一个简立方晶格中，刚球所占体积为 ，简立方晶格的一个立方体的体积为 ，二者之比为 。

3 、（ 15 分） 证明： T=0K时，自由电子的费米能级为 ， 这里 n=N/V为电子密度。

解：自由电子的能量本征值为

自由电子能态密度为

由费米能级的物理意义可得

这里令

则可得

4 、（ 20 分） 证明：一维金属中自由电子的能态密度为： （L为晶格长度）。

解：自由电子的色散关系为：

则

k空间中E与E+dE之间的范围

该范围内的状态数

所以

5 、（ 25 分） 设一长度为 L的一维简单元晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示为 ，试由简谐近似（只考虑最近邻情况）求

(1)色散关系；

(2) 模式密度 g(ω)；

(3)用德拜模型的思想求晶格热容（只列出积分表达式即可）。

解：（ 1）原子间弹性恢复力系数：

已知一维单原子链的色散关系是 或

所以，

（ 2）设振动模式数为原子总数N，q的分布密度为L/2 π ， 则 dq 范围内的振动模式数为

（ 3）频率为ω的格波的热振动能为

整个晶格热振动能为

则比热为