1.3.5 建模实例

这一节将完整地讨论两个建模实例，其中顺便介绍了一个经验模型的建模全过程。希望读者通过它们对数学建模的基本步骤和基本思路、方法有一个通盘的了解。

实例 1 人口增长模型

问题分析

人口问题给我们这个赖以生存的地球造成的麻烦是越来越多了，资源、环境、疾病以至于温饱都成了问题，所以人们对这个问题给予了充分关注。数据调查的结果表明，近两个世纪以来的人口数字令人震惊：1830 年的人口总数为 10 亿，到 1930 年这 100 年间，人口总数翻了一番达到 20 亿，到 1975 年不足 50 年间人口总数又翻了一番达到 40 亿，按此规律计算下来，到 2000 年人口总数至少是 80 亿。当然这预测值是错误的。那么人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律成了各界人士关注的一个热点。

1798年，英国人口学家马尔萨斯 （Malthus） 在分析了一百多年人口统计资料之后，提出了著名的马尔萨斯人口增长模型，通常称之为指数增长模型。用现在的数学建模语言叙述即为：

模型假设

1. 时刻 的人口函数是连续可微的；

2. 人口的增长率( = 出生率 - 死亡率)是常数；

3. 人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和死亡。