1.3.6 初等数学建模问题

这部分内容主要是近些年来中学数学建模与数学应用竞赛及考试辅导材料中的题目，这次经过改编使之更有数学建模特征后一并写进来。一方面使大家能结合教学实际进行建模活动，更好地理解数学建模的方法、作用与过程，另一方面是给有兴趣的中学教师们积累点资料。值得说明的是，其中有初中内容，更有高中内容，故所用工具可能延伸到单元微积分与初等概率论知识。让我们从一个古老的数学问题开始讨论。

例 1 含参数代数方程

设一农夫有一片草地用于放牛，经观察发现， 3 头牛在 2 个星期中就能吃完 2 亩地上的草；2 头牛在 4 个星期中也能吃完 2 亩地上的草，那么要多少头牛才能在 6 个星期中吃完 6 亩地上的草?

我们按前述建模思路给出如下建模过程。

问题分析
    根据题目可知，一片地上的草被吃完并不意味着草的高度不存在，而草被牛吃之前其高度也未必一致，草是随吃随长的且各处的生长速度也不尽相同，同时每头牛的吃草量也不相同。这些问题都应在考虑之列。当然，我们现在是考虑中学数学建模问题，自然要结合中学数学的范围，才能建立较为合理的数学模型。

模型假设
    据问题分析我们假设
    (1) 牛吃不到的草高为吃完高度，假定此时草高为零。