第二节 中小学数学典型的数学思想方法

    当前，世界各国都已经认识到，在当今和未来社会的许多行业，直接用到学校数学知识的机会并不太多，而且也不是固定不变的，更多的是受到数学思想的熏陶与启迪，以此去解决所面临的实际问题。
    目前，在处理中小学数学思想方法上有两种基本的思路：第一，主要通过纯数学知识的学习，逐步使学生掌握数学的思想和方法，特别是一些具体的、技巧性较强的方法，如换元法、因式分解法、公式法等；第二，通过解决实际问题使学生在掌握所要求的数学内容的同时，形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法，如试验、猜测、模型化、合情推理、系统分析等。这两类思想方法的取向有所不同，前者倾向于技术方面的，更多的是帮助学生学习解决具体问题的技巧，后者更多的是一般的思考方法，具有更广的应用性。主要发达国家倾向于第二种方法。

    本节我们重点介绍中小学数学常用的典型数学思想方法。

    一、观察与实验

    对周围世界的各个客观事物和现象，在其自然条件下，按照客观事物本身存在的特征的自然联系的实际情况，研究和确定它们的性质和关系的方法，称为观察。观察是一种有目的、有组织的知觉，是一种积极的思维过程。
    一切知识的获得都首先要从观察入手，一个勤于观察、善于观察的人总是事事、处处留心，因而他就会随处发现问题，获得知识。著名的数学家高斯在10岁的时候就很快计算出了1+2+3+…+100的结果，如果没有敏锐的观察力，他就不能发现算式中的特点，也就无法找到解决问题的最合适的钥匙了。
    实验是一种研究客观事物和现象的方法，即根据这些事物和现象的自然状态和发展，人为地创设条件，人为地将它们分成许多部分，并将人们同其他事物和现象联系起来，以深入了解所研究事物和现象的自然状态和发展情况。实验往往和观察密不可分，在实验的过程中，实验者必须对实验的进程和结果进行仔细观察。观察和实验是收集科学事实，获取感性经验的基本途径，是形成、发展和检验自然科学理论的实践基础，是一种非常重要的数学方法。
    观察与实验也是中小学数学中最基本的方法之一。在中小学数学教学中，常常通过观察得来新材料，发现新事实，而后通过一次或多次实验来验证观察来的结果。观察与实验结果相一致，即得到了老师要引出的概念、性质、定理与公式等。在这个过程中，学生不仅学习到了数学知识的结果，而且获得了发现数学知识的方法。
    例如，观察与实验可以运用于数学概念的形成。数学概念是现实世界的事物或现象的数量关系和空间形式的基本属性在人们头脑中的反映，特别是中小学数学的概念，大多数在周围环境中都有它的现实原型。因此，概念的形成应该让学生观察他们所接触过的实际事物入手，密切联系实际原型、模型、图表等，使学生较容易地理解和掌握数学概念。在讲授“负数”这一概念时，可以让学生观察“汽车向西行驶了5公里”与“汽车向西行驶了5公里”，“收入100元与支出100元”，“零上10摄氏度与零下10摄氏度”这些实际例子入手。学生通过观察对“负数”有了一个感性的认识，那么其概念的获得就变得容易许多。
    观察与实验还可以用来发现新的数学命题以及用来探索解题和证明的方法。比如，在学习一元二次方程时，通过观察若干个一元二次方程的根与系数，就可以发现一元二次方程根与系数的关系，然后在用得到的关系去验证几个一元二次方程以证明结论的正确性。在讲授“三角形内角和定理”时，教师可把用纸片做成的三角形进行割补，让学生观察演示的过程找到证明的途径。利用数形结合的方法通常都是通过观察图像的特点来解决问题的。
    在科学技术高度发展的今天，借助了计算机的力量，数学运用观察与实验已经是普遍使用的一种数学方法。比如中小学数学实验课的开设，就是让学生在数学实验室(多媒体网络教室)中，通过自己动手操作进行研究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得概念、理解或解决数学问题的一种教学过程。在这个过程中，教师通过设计实验问题、通过学生动手实验来引导和启发学生研究数学问题。
    观察与实验得到的结论虽然没有演绎推理得来的结论那样有充分的依据，但它在数学理论形成之前和理论形成之后的应用阶段的作用是非常大的。因此，在中学数学教学中，注意恰当的运用观察与实验，对培养学生的观察与实验能力，提高教学质量、教学效果有重大的意义和作用。