第四章 中小学数学的逻辑基础

第一节 数学命题

    一、命题的意义

    人们在社会实践中，产生概念之后，就要运用概念做出各种判断。例如，通过对有理数的研究，我们容易做出这样的判断：
    ①正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；
    ②零没有倒数。
    这些判断反映了正数、负数、零的倒数的情况。其中①肯定“正数的倒数”是“正数”，“负数的倒数”是“负数”这样的性质；c否定了“零有倒数”这一性质。这些判断的形式不一样，但是具有共同的特征，都是对客观事物有所肯定或有所否定。
    由此可知，判断是对客观事物的一种认识，是对客观事物有所肯定或是否定的一种思维形式。在判断中常反映着：①某属性是否属于这个或那个思维对象；②各思维对象间的关系；③各对象间的制约关系等等。因此对思维对象有所肯定或有所反映乃是判断的最显著的特点。
    表示判断的句子叫做命题，并且这种句子只能是可以判断真假的陈述语句。定义、公理、定理、公式、性质、法则等都是数学命题。
    例如：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②内错角相等，两直线平行。这两个句子都做出了判断，因此它们都是命题。
    根据不同的标准可以把命题分成几种不同的类型，但通常按照命题本身是否还包括其他的命题，我们可以把命题分为简单命题和复合命题。
    简单命题是命题本身不再包含其他命题的命题。按其所断定的对象是性质还是关系而分为性质命题和关系命题。
    复合命题是由两个或两个以上的简单命题组成的命题。按照组成复合命题的各个简单命题之间的结合情况如何，分为负命题、联言命题、选言命题、假言命题。
    命题的分类用图形表示如下: