三、数学教学原则研究的发展趋势

    （一）一般趋势

    当代，教学原则理论的研究有了很大发展，形成了多种流派。各种派别在争论和碰撞中，有的原则被舍弃了，新的原则又出现了。从总的发展趋势看，争论仍将继续下去，并表现为如下的特点：
    ① 以完整的体系构建代替零散的并列的条目；
    ② 体系中，既强调学习智能的发展，又强调情感等非智力因素的培养；
    ③ 从单纯研究教的原则，向重点研究学的原则倾斜，全面研究教与学合作的活动；
    ④ 一般化教学原则的研究与模式化教学原则的研究相结合，各有各的“领地”，不能互相取代，应该探索二者的有机结合。
    数学教学原则研究是数学教学论中的重要内容，对中小学数学教学改革有着直接的指导作用，它来自数学教学实践，反过来又指导数学教学实践。运用什么教学原则，是坚持什么教育观念，如何认识教学规律的大问题。现代数学教育理论，必须以符合现代要求的教学原则为其重要内容。广大的数学教师，只有自觉地在自己的教学中坚持实施正确的数学教学原则，才能保证自己的教学沿着设计的改革方向进行，从而顺利地完成数学教学任务，提高教学质量。
    当然，教学原则体系并不是惟一的，不好说哪个体系是最优的。因而，不能也不应该从是否新的就是最好的这个角度来审视这个新体系。

    （二）中小学数学教学的一些新原则

    作为中小学数学教学研究的重要组成部分，本节并不打算对反映教育一般规律的目的性原则和反映一般的教学论原则作深入、全面的探讨，也不打算对反映中小学数学教学的特殊规律的技术性原则作详尽的探究，而是根据新时期中小学数学教育发展的实际，选择其中的三条核心原则---基础性与发展性相结合原则、师生交往互动原则、数学学科特点与学生认知水平相结合原则，进行深入的研究、探讨，期望从中揭示中小学数学教学的一般规律。

    1、基础性与发展性相结合原则
    基础性与发展性相结合原则的基本含义在于，中小学数学教学的根本目的在于促进学生的全面、持续、和谐发展，使学生通过学习，学会做人、学会生存、学会求知、学会发展，获得进一步发展的能力和素养；同时，学生数学学习的目的还在于，通过学习，尽快掌握从事现代生活所必需的基础知识、基本技能和基本的生活能力，获得参加生产、实践所必需的基础性的科学知识，同时为今后进一步学习数学以及相关学科打下坚实的基础。
    中小学数学教学既要重视学生对数学基础知识和基本技能的掌握，又不能忽视他们的能力、思想品德和个性心理品质的培养，教学要促进学生素质的全面和谐发展。这一原则一方面体现了全面推进素质教育的时代要求，表明了教学目标和任务对中小学数学教学原则的客观制约性；另一方面也反映了小学数学学科教学的本质属性，中小学数学教学过程是一个旨在促进学生素质全面发展的综合性育人过程，其内容本身就具有促进学生知识、能力、情感、态度、品德等素质全面发展的功能，全面发展学生的素质实际上是中小学数学学科内容功能的全面体现。从教学原则和教学规律两者之间的关系来看，这一原则集中反映了教学与发展之间的必然联系：一方面，促进学生素质的全面发展是中小学数学学科教学的出发点和归宿，只要有中小学数学教学过程发生，学生的发展和变化就不可避免；另一方面，学生的发展又是建立在学习数学知识活动基础上的，传授和掌握数学知识是实现学生素质全面发展的基本前提和重要载体。
    对此，我们可以从如下几个方面借以理解：
    （1）数学是促进学生发展的重要途径。
    从学生发展的角度说，数学是促进学生思维发展的重要途径。而作为一个公民，掌握一定的数学知识和技能是必须的。数学成为公民素养的一个重要的组成部分。也可以说，不具备一定的数学知识和技能，就不能成为合格的公民，不能很好地适应社会的发展对人的素质的需求。特别是科学技术飞速发展的今天，有更多的领域需要数学的知识和技能。离开数学人们几乎寸步难行。正因为这样，各国在选择课程内容时，都更加重视学生数学素养的培养和终身学习的条件。比如，会通过适当运算把实际问题归结为数学问题；懂得多种解决问题的方法、能和他人合作解决问题、相信数学的价值与用途、掌握猜测与推理的手段和方法、会进行探索、创造等，以更好的适应未来社会的发展。
    为此，在中小学数学教学过程中，教师要引导学生进行数学活动的过程
    一方面，要让学生经历一个数学化的过程，发展学生的创新思维。另一方面，要把数学教学活动组织成学生自己建构数学知识的活动。从建构主义的角度来看，数学学习指学生自己建构数学知识的活动，在数学活动过程中，学生与教材（文本）及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维等方面的品质。在学校学习的情境下，教师对于指导学生进行建构数学知识具有重要的引导和指导作用，教师教学工作的目的是引导学生有效地建构数学知识。
    （2）数学教学的重要目的之一在于让学生获得未来发展所必备的基础。
    数学教学是一种特定的学科教学,是在学校里使学生掌握数学基础知识、基本技能,形成综合运用数学知识解决实际问题的能力,形成良好的个性品质和科学态度的基本方式；数学教学又是学习性和继承性的认识过程,教学中的知识,对师生而言都是已定型的间接知识,学生的学习不具有社会意义下的发明、创造等特征;同时，数学教学过程是开发学生智力,发展数学能力的过程。
    数学教学过程能够开发学生智力、发展数学能力,这是由数学的高度抽象性、严密的逻辑性、科学的系统性所决定的。在学生认识新概念,接受新知识的过程中,脑功能得到科学地开发,潜思维得到挖掘,创造性思维得到发展,自然促进学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题解决能力的发展。教学与发展是互为因果、互相促进的辩证统一关系。学生的发展,增强了教学的效应;而教学功能得到全面发挥,对培养学生数学意识,形成数学能力,造就高素质的人才具有重要的作用。
    从教学的角度看，数学教学过程是对学生进行知识教育的过程。知识教育内容是构成数学教学内容的主体,它主要包括数学基础知识、基本技能和社会自然知识。数学基础知识包括数学概念、法则、性质、公式、公理以及由其内容所反映出来的数学思想和数学方法，数学基本技能既包含动作技能,更包含心智技能。在数学教学过程中要注意正确处理好知识和技能之间的关系。同时，在教学过程中，还要注意让学生尽可能的了解一些社会自然知识,这一方面可以开阔学生的视野,另一方面也加深了学生对基础知识和基本技能的理解。
    数学是文化的一部分,数学教育从某种意义上说来就是数学文化教育,它不仅具有使学生掌握、运用数学知识、技能等功利性功能,而且具有使学生受到良好的数学思想方法的训练,提高数学文化素养等素质性功能。
    数学教学过程也是对学生实施德育、美育,促进学生身心发展的过程。数学的德育功能狭义的理解主要包括爱国主义、辩证唯物主义等,广义的理解则还包括刻苦的钻研、坚韧不拔的毅力,严格认真的态度,实事求是、谦虚谨慎的作风等。数学是具有严谨逻辑性的科学,通过数学学习有助于培养学生言必有据、一丝不苟、坚持真理、修正错误的实事求是的科学精神。数学又具有高度抽象性的特征,教学中通过展现概念产生和命题形成的过程,可以帮助学生确立从本质看问题、区分主要与次要因素、区分本质与现象的思想方法和自觉意识。学好数学需要高强度的智力活动,需要具备勤奋、刻苦、勇敢、机智、顽强的精神,这正是当今时代我们迎接挑战不可缺少的精神。数学能够集中、加速和强化人们的注意力,能够给人发明创造的精细与谨慎的谦虚精神,能够激发人追求真理的勇气和自信心。
    总之，中小学数学教学，一方面是学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能的过程，这是学生未来发展的基础。
    另一方面，中小学数学教学也是使学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。这个目标反映了义务教育阶段的数学学习在于促进学生整体发展的一个方面，简言之，是培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”、学会“数学地思考”，即运用数学的知识、方法去分析事物、思考问题。因此，“以传授系统的数学知识”为基本目标的“学科体系为本”的数学课程结构，将让位于“以促进学生整体发展”为基本目标的“学生发展为本”的数学课程结构。即新的数学课程将不再强调是否向学生提供了系统的数学知识结构，而是更为关注是否向学生提供了具有现实背景的数学，包括他们生活中的数学、他们感兴趣的数学和有利于他们学习与成长的数学。而学生数学学习的重要结果也不再是会解多少“规范”的数学题，而是能否从现实背景中“看到”数学、能否应用数学去思考和解决问题。
    同时，中小学数学教学的目的还在于，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。事实上，实施素质教育的主渠道还是学科教育活动，数学课堂中应当、而且能够见到素质教育。中小学数学教学应该为学生的终生可持续发展奠定坚实的基础，一切着眼于学生未来发展的需要，同时，关注学生基础性学习内容的真正理解和掌握，在继承传统精华的基础上，发展创新，形成终生可持续发展愿望和能力。

    2、师生交往互动原则
    这一原则认为，在数学教学中，学生建构数学知识过程是师生双方交往、互动的历程。教师是组织者和引导者，为学生的学习活动提供一个良好的环境，真正发挥引导者的作用，而非“解题者”；学生是主动探索知识的“建构者”，而非只是模仿者。在数学课堂教学中，师生双方“捕捉”对方的想法，双方产生积极的互动。
    （1）教学是教师教与学生学的和谐统一，这种统一的实质是交往。
    简而言之，所谓交往，就是共在的主体之间的相互作用、相互交流、相互沟通、相互理解，这是人的基本的存在方式。在教学中，交往存在着师生间的交往和生生间的交往之分。
    交往的本质属性是主体性，交往论承认教师与学生都是教学过程的主体，都是具有独立人格价值的人，两者在人格上完全平等，即师生之间只有价值的平等，而没有高低、强弱之分。师生关系是一种平等、理解、双向的人与人的关系，这种关系得以建立和表征的最基本形式和途径便是交往，离开了交往，师生关系仅仅是外在的，而不能成为教育力量的真正源泉，甚至反倒成了教育的阻力。
    在中小学数学教学中，如何做到师生交往？对此，我们认为：
    对教学而言，交往意味着对话，意味着参与，意味着相互建构，它不仅是一种教学活动方式，更是弥漫、充盈于师生之间的一种教育情境和精神氛围。
    对学生而言，交往意味着心态的开放，主体性的凸现，个性的张显，创造性的解放。
    对教师而言，交往意味着上课不是传授知识，而是一起分享理解；上课不是无谓的牺牲和时光的耗费，而是生命活动、专业成长和自我实现的过程。
    （2）教学的本质是一种“沟通”与“合作”，是教师与学生围绕着“教学文本”进行“对话”的过程。
    在教学过程中，教和学是不能分离的。教师与学生是人格平等的主体，教学的过程是师生间进行平等对话的过程。在数学教学过程中，师生间、学生间可以进行动态的对话，这种对话的内容包括知识信息和情感、态度、行为规范和价值观等各个方面，对话的形式也是多种多样的。教师的一个眼神有时也能表达对学生的关怀。教师和学生就是通过这种对话和交流来实现课堂中师生间的互动。
    传统意义上的数学教学只是强调知识或技能的传递，课堂教学模式基本上是灌输——接受，学生基本上是听讲——记忆——练习——再现教师传授的知识。学生完全处于一种被动接受的状态，教师注重的是如何把知识、结论准确地给学生讲清楚，学生只要全神贯注地听，把老师讲的记下来，考试时准确无误地答在卷子上，就算完成了学习任务。因此，教师对学生的要求是倾听，“听”和“练”成为学生最重要的学习方法。教师在课堂上不断提醒学生：“注意听”。家长也嘱咐学生：“上课要注意听讲”。在传统的课堂中是没有师生之间平等的对话存在。
    在中小学数学教学中，如何进行这种互动式教学呢？
    教师首先要充分调动学生的主动性与积极性。数学教学过程是学生对有关的数学学习内容进行探索、实践与思考的学习过程，学生是学习活动的主体。教师要引导学生开展观察、操作、比较、猜想、推理、交流等多种形式的活动，使学生通过各种数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。
    其次，角色转变是关键。在新理念下，教师是学生数学学习活动的组织者、引导者与合作者。教师在课堂教学中始终起到主导作用。教师的这些作用至少可以在下面的活动中体现出来。
    第一，教师引导学生投入到学习活动中去。教师要调动学生的学习积极性、主动性，激发学生的学习动机；当学生遇到困难时，教师应该成为一个鼓励者和启发者；当学生取得进展时，教师充分肯定学生的成绩，树立其学习的自信心；当学生取得结果时，教师要鼓励学生进展回顾与反思。
    第二，教师要了解学生的想法，有针对性进行指导，起到“解惑”的作用；教师要鼓励不同的观点，参与学生的讨论；教师要评估学生的学习情况，以便对自己的教学作出适当的调整。
    第三，教师要为学生的学习创造一个良好的课堂心理环境，包括情感环境、思考环境和人际关系等多个方面，引导学生开展数学活动。

    3、数学学科特点与学生认知水平相结合原则
    这个原则的含义和要求，体现在两个方面：
    一方面，中小学数学教学要根据学生的年龄特征和认知发展水平组织教学，数学教学活动要关注学生的个人知识和直接经验。
    正如《课程标准》所指出的，数学课程“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……,数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”这就是说，数学教学活动要以学生的发展为本，要把学生的个人知识、直接经验和现实世界作为数学教学的重要资源。这一理念，着眼于学生终生学习的愿望和能力，要求数学课程应当从学生的生活经验和知识经验出发，根据学生的年龄特点和心理发展规律选材，题材要广泛，呈现形式要丰富多彩，充满着学生乐于接触的、有价值的数学题材。
    活泼，是孩子的天性，所以，也应该是孩子用的教科书的主旋律。但我们的教科书传统上却多是板着面孔，看上去离孩子的生活较远。其实数学的严谨性未必一定要通过板着的面孔体现。孩子用的教科书一定要贴近孩子的生活，让他们感到亲切。这样才能产生乐学、好学的动力。具体说来，要包括现实生活中学生们感兴趣的问题；具有开放性的问题；有时代气息的问题等等。课堂教学使孩子感到亲切，这样的教学就会对孩子产生一些潜移默化的影响，有助于他们形成活泼、真诚、有爱心的品格。
    另一方面，中小学数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程，数学教学要体现现数学特有的思维方式，体现数学发展过程中的丰富多彩的创造过程，以及数学逻辑的严谨性和结论的确定性。
    为此，中小学数学教学要要力求再现数学发生发展的全过程，在学生力所能及的情况下，准确把握“数学化”的过程及其相关的培养和训练：
    （1）要让学生经历一个数学化的过程。
    数学活动就是学生学习数学探索，掌握和应用数学知识的活动。简单地说，在数学活动中要有数学思考的含量。数学活动不是一个一般的活动，而是让学生经历一个“数学化”过程的活动。“数学化”是指学习者从自己的数学现实出发，经过自己的反思，得出有关数学结论的过程，是指学生从自己的数学现实出发得出数学知识的过程。在数学教学中，学生的数学现实就是指他们的已有的经验和知识。当儿童通过模仿学会计数时，当他们把两组具体对象的集合放在一起而引出加法规律时，这实质上就是数学化的过程。
    事实证明，只有将数学与它有关的现实世界背景紧密联系在一起，也就是说只有通过“数学化”的途径来进行数学的教学，才能使学生真正获得充满富有生命力的数学知识，使他们不仅理解这些知识，而且能够应用。因此，数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验出发进行教学，教师要善于引导学生把生活经验上升到数学知识。
    在数学活动的过程中，反思是一种重要思维活动。教师必须引导学生学会反思，组织学生进行回顾与评价的活动。在数学活动的过程中，学生虽然得出的是前人已经发现的知识，但数学化的过程中对于学生来说是具有一种再创造的因素。学生数学化的过程也是培养学生创新思维的重要途径。
    为再现数学发生发展的全过程，中小学数学课程教学的内容不仅要包括数学的一些现成结果,还要包括这些结果的形成过程。这里的“过程”大体上要包括两个方面:一是发现实际问题中的数学成分,并对这些成分做符号化处理,把一个实际问题转化为数学问题。二是在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理,从符号一直到尝试建立和使用不同的数学模型，发展更为完善、合理的的数学概念框架。学生通过这个过程,理解一个数学问题是怎样提出来的、一个数学概念是怎样形成的、一个数学结论是怎样获得和应用的，通过这个过程学习和应用数学。在一个充满探索的过程中,让已经存在于学生头脑中的那些不那么正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论,从中感受数学发现的乐趣,增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意识,使理智过程和精神世界获得实质性的发展和提升，从而达到素质教育的目的。
    重视过程的数学课程，“数学知识”的总量肯定比以往要减少，而且探索的经历意味着学生要面临很多困惑、挫折、甚至失败。也可能学生在花了很多时间和精力之后结果并不理想，但这些是学生生存、成长、发展、创造所必须经历的过程，在这样的过程中耗费的时间和精力可以说是值得付出的代价，因为留给学生的可能是一些对他们终生有用的东西，是一种难以言说的丰厚回报。
    （2）学会“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，学会“做数学”和从事“数学地思考”。
    在学校学习的情境下，教师教学工作的目的是引导学生学会“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，学会“做数学”和从事“数学地思考”。在这里，数学思考所阐述的内涵并非单纯地指向纯粹的数学活动本身，而是直接指向学生在与数学相关的一般思维水平方面的发展。
    事实上，中小学数学教育是一种公民教育，它给学生带去的绝不仅仅是会解更多的数学题，对他们而言，“思考数学”是一种需要，但更多的或许是能够进行“数学的思考”，即在面临各种问题情境（特别是非数学问题）时，能够从数学的角度去思考问题、能够发现其中所存在的数学现象、并运用数学的知识与方法去解决问题。
    为此，义务教育阶段数学教学必须达到如下目的：
    ●让学生经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。亦即，能够用数学的语言去刻画现实世界，去发现隐藏在具体事物背后的一般性规律：
    对第一学段（1-3年级）的学生来说，能够用数和简单的图表刻画一些现实生活中的简单现象；对第二学段的学生而言，应当包括既能够用数和简单的图表刻画一些现实生活中的现象，还应当包含对某些数字信息做出合理的解释；
    ●丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。亦即，让学生建立初步的空间观念，能够借助图形去进行思维，这也是学生学习“图形与空间”的首要目标：
    对第一学段的学生来说，主要任务在于为建立空间概念准备必要的“元素”——基本图形的形状、大小、位置关系等，它们无疑可以通过对有关图形的探讨来实现；对第二学段的学生而言，除去进一步探索某些图形的形状、大小、位置关系以外，还应当了解一些不同图形之间的变换关系，并且初步尝试应用已经获得的知识与方法去构建简单的几何形体，从而在头脑里建立初步的几何空间。这些目的可以通过简单的拼图游戏、设计图案等活动来逐步达到；
    ●经历运用数据描述信息、做出推断的过程，发展统计观念。
    对于第一学段的学生来说，要求学生能够在教师的帮助下，在熟悉的生活情境中，根据需要选择一些简单而有用的信息，并且能够进行归类。例如，可以让学生就自己的家庭成员或同学的爱好、习惯性行为等作一些统计，并在教师的指导下，用适当的图表表示统计结果；对于第二学段的学生而言，则是能够独立或与同伴合作，在熟悉的情境中，根据需要收集、处理一些简单而有用的信息，并尝试根据信息做出猜想。此时，可以将完成某个任务、或从事某个活动作为出发点，让学生去进行收集、处理相关信息的活动，并根据结果给出自己完成任务的方法；
    ●经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
    作为一个受过系统教育的理性公民，一个重要的标志就是能够通过推理去做出合理的判断与选择、能够在与他人交流过程中清楚地表达自己的观点：
    对于第一学段的学生来说，重点在于发展其能够进行有条理的思考—一个特定的原因能得到什么结果？形成一个结果的原因是什么？对于第二学段的学生来说，不仅要求他们能够有条理地思考，还应当能够向别人解释自己所获得的结论的合理性，即使这个结论的获得并没有充分的逻辑依据。即不仅能够说服自己，还能够说服别人。
    在长期的中小学数学教学中，广大一线教师创造了许多坚持数学学科特点与学生认知水平相结合原则的成功的做法，如，教学要求要恰当、明确；教学要逻辑严谨、思路清晰、语言准确，充分关注学生数学语言逐步严谨化的过程；教学由浅入深、由易到难，充分利用学生已有的生活经验、数学活动经历创设切当的问题情景，开展教学；关注数学的现实性和学生的现实性，利用丰富多彩的课堂呈现形势、教材呈现形式组织教学，等等。更期望广大读者能够结合自己的实际，通过一定的中小学数学实例，设计出自己的方案，体现数学学科特点与学生认知水平相结合原则在中小学数学教学中的应用。