二、新的教学原则体系的尝试

    素质教育观念要真正得以落实，就必须将其贯彻于数学课堂教学之中，而课堂教学要切实达到新定课程标准的要求，实现以人为本的教育理念，就必须对数学教学原则进行研究、改造和创新。因为，数学教学原则，是数学教学必须遵循的基本要求，它反映了教学规律，体现教学目的的要求，因而体现着教育方向和目标。贯彻正确的教学原则，不仅有利于提高数学教育质量，而且能够推动数学教学改革向着设计的方向前进，使素质教育的理念真正得以实现。
    数学教学要从以获取知识、技能和能力为首要目标，转变为首先关注每一个学生的情感、态度、价值观和一般能力的发展，为学生的终身可持续发展奠定良好的基础，为使课堂教学焕发生命的活力，就必须构建新的教学原则体系，以规范千百万教师的行为模式，改变旧的教学方式和行为习惯。
    另外，现在的教学技术日新月异，信息飞速发展，教学方法不拘一格，传统的教学原则是否适应这些 “生产力”的进步，也很值得人深思。因此，新理论的提出也就顺理成章了。
    新的数学教学原则，应该既规范教师的教又规范学生的学，在教与学的结合上充分体现学生的主体作用和教师的主导作用。为了克服教学原则之间的零散性和片面性，应该构建一个阶梯层次结构的科学完整的体系。这个体系既要注重其理论基础，又要考虑其实际应用，以保证其整体性、和谐性、层次性和可操作性。此外，还应该有结合新内容的弹性空间。
    参照国内外许多有关教学原则和数学教学原则的研究，并结合中国教育的实际，根据数学教学改革的方向和数学教学改革的现状与发展趋势，介绍一种新的数学教学原则体系。现就这个新体系的运用与实施，作一些简要说明。

    （一）方向目的原则

    这是统率数学教学的首要原则，它指引数学教学的方向，是完成教育目的和达到教学目标的最重要的一条原则。在这一条根本原则下，分列了五条具体的原则，分别从培养“如何做人”(德育为首)、培养“创新人才”、培养的重点(数学素质)、培养的方法(观念、意识、知识、能力融合)、培养的途径(具体落实到数学问题解决)五个方面去实施。
    方向目的原则是数学教学原则中最根本、最重要的一条，是21世纪数学教学改革的根本方向和战略目标。在新世纪里，科学的空前发展要求教育从根本上要解决科学与人文结合的问题，要求培养出适应新时代的要求，具有理性思维的全面发展的新人。要“学会做人”、“学会做事”、“学会关心”、“学会合作”。在新层次上让人类从整体上“学会生存”。作为基础教育核心学科的数学教育，应该为人的一生发展奠定良好的智力、能力、品质和综合素质的基础。因此，数学教学原则体系中，应该首先指明和规定实现这一目标的原则，让教育者和学习者有一个始终不渝的方向，这是“数学教育的时代性原则”的体现。

    （二）教的原则与学的原则，以及合作原则

    在整个教学过程中，有很多的教学因素，但最重要的是人的要素，就是教师和学生。传统的教育观念，以教师为中心，把教师定为“智者”、“长者”。中国的古代大思想家韩愈认为“师者，传道、授业、解惑也”；在中国教育界有着极大影响的前苏联教育家凯洛夫，主张教学应以“课堂为中心、教材为中心、教师为中心”。因此，传统的教育原则，只注重从教师出发来考虑，很少或无视学生这一教学过程中的主体。心理学的研究认为，“数学学习并非学生对教师所授知识被动地接受，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程”；“教师在教学活动中的主要责任就是要为学生的学习活动创造一个合适的社会环境”。特别是，“由于学习活动主要是一个‘顺应’的过程，因此，教师的一项主要工作就是如何从学生的实际出发(这以深入了解学生真实的思维活动为必要的前提)，通过提出适当的问题或实例以促进学生的反思，包括引起必要的概念冲突，从而最终通过其主动的建构建立起新的认知结构” 。
    数学教学原则体系设计中，着重提出的“教师教的原则”、“学生学的原则”和“师生合作原则”正是从新的教育观念出发提出了一个全新的框架。在不同的层次上，勾画了运用和实施各条教学原则的重点和操作方法。

    （三）系统系统科学原理指导下的数学教学原则

    1．系统科学原理
    系统科学产生于20世纪40年代，它把人们带入了一个全新的视野，它不是把复杂的系统分解成孤立的元素，而是把复杂系统作为一个整体，从整体上加以研究，系统科学的核心是系统论、信息论和控制论。系统科学是当今科学研究的热点，也是建立“大型工程”的理论基础。利用系统科学基本原理来研究教育教学这一系统，并指导教育教学活动，已成为现代教育教学研究的新领域，教育系统决策学、教育信息传播学、教育控制论等许多研究成果都是在系统科学方法论的基础上产生的。
    系统科学内涵三条基本原理：反馈原理、有序原理和整体原理。
    （1）反馈原理
    任何系统只有通过反馈信息、才可能产生有效的控制，从而达到目的;或者说，没有反馈信息的系统，要实现有效的控制，从而达到目的是不可能的。
    （2）有序原理
    任何系统只有开放、有涨落、远离平衡态，才可能走向有序;没有开放、没有涨落、处于平衡态的系统，要走向有序是不可能的。所谓有序，是指信息量的增加，组织化程度走向增加，即混乱程序走向减少。系统由较低级的结构变为较高级的结构，是有序;反之是无序。开放，是指系统与外界环境系统进行物质、能量与信息的交换，而不是构成一个封闭的系统。封闭导致无序，开放导致有序。涨落是指系统对稳定状态的偏离，通过涨落远离平衡态导致有序。
    （3）整体原理
    强调系统中的各个要素只有通过相互联系、形成整体结构，才能发挥整体功能;如果系统的要素之间没有形成合理的有机结构，则会形成要素之间功能的内耗，要使系统发挥出整体功能是不可能的。

    2．系统科学原理指导下的数学教学原则
    立足于系统科学的反馈原理、有序原理、整体原理，提出了相应的数学教学原则，其中有的是认识策略，有的是操作技术。正确认识和把握这些原则，可以端正方向、明确目标、提高教学质量和效果。现对具体的教学原则，分别说明如下：
    （1）明确目标、循序渐进原则
    任何没有目标的行为都是盲目的行为，数学教学也必须明确自身的目标。数学教学是以数学教学目标定向的活动。数学教学目标应包括学科教学目标（教学目的要求）、课题教学目标和课时教学目标三个系列。其中前者是长期教学目标，后两者是短期教学目标。作为数学教师，重点是依据学校的培养目标和数学学科教学目标，编制短期教学目标。皮连生教授认为教学目标有利于克服数学教学的随意性和盲目性，有利于对反馈信息的分析，改进教学方法，提高教学效率，从而能提高群体教学的整体效果，对学生学业成绩的提高、专业能力和学习兴趣的发展产生促进作用。
    另外，由于数学是一门序列性学科，高年级的许多数学知识是在低年级数学知识的基础上展开的，根据布卢姆的掌握学习论，对于序列性学科，应尽可能地确保学生能成功地进行循序渐进地学习。所以，数学教学必须注意其知识的承上启下，找准前后知识的结合部位，把前面的知识作为后面的教学“生长点”。
    同时，随着信息技术的普及，计算机辅助数学教学已是司空见惯的事实，遵循“明确目标、循序渐进”的原则也就显得尤其重要。一方面，计算机辅助数学教学必须考虑数学教学的目标，考虑到数学本身的特点，明确计算机辅助数学教学的目的是为了达到数学教学的目的，始终以数学教学目标为努力的方向，不要把数学CAI课件做成金玉其外，败絮其中的“四不像”课件。比如，数学教学的图形动画就不同于卡通片，它对光学效果、色彩效果等一些对美术人员至关重要的指标并不十分在意，相反它却极其重视图形的准确性。无论是旋转还是平移，无论是中心投影还是平行投影，画面上的每一个点都是计算机准确地计算出来的，而不像一般的动画是从图形库里取出来的。如果脱离数学学科特点，就有可能本末倒置，偏离教学的主要目标。另一方面，由于计算机辅助教学能实现大容量、高密度的信息交换，教师就容易过分加大课堂的容量，加快教学的速度，忽视学生思维的节奏，使课堂教学变“走马观花”式的教学，所以必须十分注意循序渐进，充分考虑课堂教学内容的容量、教学的节奏。其实，学生能学多少内容，并不是由教师单方面决定的，在很大程度上还是依赖于学生的原有认知结构和认知水平。学生学习的过程实际上是用自己已有知识去过滤和同化新信息的过程。也就是通常所说的“学生对教师所讲授的新知识必须有一个理解或消化的过程”。按建构主义的观点，这里的“理解”或“消化”，就是学生将教师所讲的知识纳入到自己适当的认知结构中去。这种纳入的过程必须依据自己已有的知识和经验，对教师所讲的东西做出自己的解释，用自己的语言对其进行重新编码。也就是说，必须对新知识与自己原有认知结构的适应性做出自己的评价和调整，并在两者之间建立联系，从而使教师所讲的新知识在心理上获得确定的意义，而这个过程是需要时间的。所以，课堂教学并非容量越大越好，教师必须充分考虑到学生的实际情况，注意反馈，不断根据反馈的信息调整教学进度和教学方法，掌握适当的教学节奏，循序渐进，逐步达到目标。自己讲得眉飞色舞、头头是道，学生却听得“雾里看花、水中望月”的遗憾结局。比如，在长方体与正方体的认识教学中，在认识“相对的面面积相等，相对的棱长度相等”这一特征时，利用计算机不过几秒钟就可以解决；但学生的思维显然跟不上，此时，如果先闪烁一组以相对的面帮助学生理解“相对”含义，然后移动一个面进行重合比较，最后下出结论，学生理解起来就扎实、到位了。这样利用计算“动”的优势，辅之以“顿”的功能，就比较符合学生思维的速度，从而受到良好的教学效果。
    因此，数学课堂教学中教师应发挥自身的主导作用，善于控制课堂容量，避免节奏过快，要遵循“明确目标、循序渐进”的原则。
    （2）教学开放、周期跃迁原则
    有序原理告诉我们，系统进化的必要条件是：系统必须开放，只有开放的系统才能与外界有物质的、能量的、信息的交换。
    人的大脑是一个热力学系统，如不开放，与外界无信息交流，形成封闭，则大脑的熵将自发地趋于增加，走向无序。因此，教学系统必须开放，不仅是师生之间的互相沟通，也包括同学之间的互相沟通，学生与书本间的沟通，学生与环境等子系统之间的相互沟通。我们经常可以发现这样的数学课例：教师在教案设计好后，教学就以教案为中心，完全按照教案的顺序线性地演练一遍，教案就像一只无形的手，操纵着课堂上师生的教学活动，教师期望的是学生按教案的设想做出回答，教师的任务就是努力引导学生得出预定的答案。应该承认，这种演“教案剧”的课堂教学活动在传授知识的量上有很高的成效；但是，它的局限性也是显而易见的，它简化了认识过程中的复杂性、曲折性和生动性，也排除了人与人相互作用的种种可能性。从而不仅导致知识与智能的脱节，更是对智慧和生命的扼杀。这种教学过程过于“规范化”，限制了教学活动的自由性。严谨性是数学的特点，但数学的严谨性并不等于数学教学的呆板性，更何况数学的严谨性并不是数学的惟一特点，数学学习还要强调“顿悟”和“灵感”，数学史上任何一次巨大的突破，无一不和“顿悟”、“灵感”、“发散思维”息息相关。学生对数学知识的理解也是多层次、多角度的，强制学生按照教师思维进行学习，仅用一种逻辑的直线推理方式进行思考，约束学生的发散思维，学生将失去学习的兴趣，无法进行主动学习。
    有序原理还告诉我们，系统只有远离平衡态，才能形成新的稳定的有序结构，才能有所创新。所以在数学教学中，不仅要考虑循序渐进，还要考虑周期跃迁。循序渐进重于“量变”，而周期跃迁则重于“质变”，量变应当引起质变。比如，“形象直观”的程度也必须有所不同，随着时间的推移必须有跃迁。如果从小学到大学，都一样地“形象直观”下去，那就不仅仅不能起到辅助教学的作用，反而适得其反，阻碍教学的进行，阻碍学生抽象思维的发展，学生的抽象思维水平就不可能上一个新台阶。学生刚刚学习自然数加法时，要用木棍或筷子做道具；但如果到了中学还要用道具来帮助做题，那就成了笑话。
    （3）把握整体、全面发展的原则
    把握整体、全面发展的原则就是要做到：
    首先要让学生掌握系统的数学知识结构。数学是一门系统性很强的学科，其内容是由一些结构比较严密、体系相对完善的数学知识系统构成的，具有很好的整体性；但是，我们的教学又不可能使学生一下子掌握所有的数学知识，只能采取循序渐进，周期跃迁的方式进行。这就要求我们在贯“明确目标、循序渐进原则”和“教学开放、周期跃迁原则”的同时，还必须充分考虑数学知识的系统性，把握数学知识结构整体。从而克服因教学内容的分散性和教学过程的间断性给学生掌握系统化的数学知识结构带来的负面影响。
    另一方面，“把握整体，全面发展”的原则还要求数学教育要以提高学生的综合素质，培养德、智、体全面发展的人为已任。受传统的教学理论影响，当前的数学教学，往往只是注重知识、技能、技巧的掌握，而忽视学生个性发展；过于强调科学性、严谨性，而忽视艺术、审美教育，使课堂教学变得机械沉闷和程式化，缺乏应有的体验与理解，没有形成应有的价值观与态度，这必然造成教育教学的异化和数学人文价值的失落，同样无法培养学生健全的人格。
    数学教学内容不仅是一个数学知识的逻辑体系，更重要的是通过知识反映出它所包含的数学思想方法，反映出它的文化价值。数学学习的过程是知识获得与观念形成同时发生的过程，课堂不仅是学生学习的地方，也是文化观念形成的场所。教学生学到数学知识只不过是学生所学到的数学内容的一部分，更为重要的是对数学的真正认识、数学信念和价值的形成，并且，这种意识和观念又极大地影响着学生今后怎样使用他所学到的数学知识。正如布鲁纳所说：“学习、了解一般的原理原则固然重要，但尤其重要的是发展一种态度，即探索新情境的态度，做出假设，推测关系，应用自己的能力以解决新问题或发现新事物的态度。”可喜的是2001年《课程标准》已将“情感与态度”列入四大课程目标之一；而2002年《高中数学课程标准（实验稿）》也将“体现数学的人文价值”作为制定《标准》的基本理念。所以，我们必须充分注意教学过程中的人文环境建设，既反对教育中的惟人性化，又反对教育中的唯科学论，避免因轻实际而造成的空虚无用，或轻人文而造成道德、价值、人性的失落。使认识目标与情感目标并重、数学教育与人文教育有机融合，在数学教学中实现完整的人的教育。
    （4）“数学现实”原则
    数学来源于现实，也必须扎根于现实，应用于现实。但数学在其发展中，不断丰富着其内在的和外在的联系，形成了一个严谨的形式逻辑、数理逻辑的演绎计算体系。这是一个庞大的整体结构，它既独立于现实社会之外，又渗透于现实社会的错综复杂的关系之中。人们对“现实”的理解，是不同的社会需要，日常生活的需要，各种职业的需要，也进一步学习及从事高水平研究的需要。每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界，以及反映这个客观世界的各种数学概念，它的运算方法、规律和有关的数学知识，即每个人都有自己的一套“数学现实”。不同人的“数学现实”，在背景材料上有不同的使用水平，有其独特的含义和理论深度。它是不同的人用数学概念、数学方法对客观事物的认识总体，既含有客观世界的现实情况，又包含个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。比如，学生的实际是教师的教学不能忽视的现实，学生的实际知识有多少，学生的数学水平有多高，学生的日常生活常识有多广，学生的智力水平、能力基础有多强，这都是教师教学面对的现实。必须把客观现实材料和数学知识方法融为一体，数学教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，特别是其中由思维和推理所联结的整体结构。
    （5）数学化原则
    数学观的现代演变，是由静态的数学观向动态的数学观的转移。静态的数学观，往往把数学等同于数学知识的汇集，同时又把这些数学知识看成是无可怀疑的真理;动态的数学观则把数学看成是人类的一种创造性活动，它包含“命题”、“问题”、“语言”、“方法”和“观念”等多种成分。数学活动是一种包含有猜测、错误和尝试、证明与反驳、实验与改进的复杂过程。数学问题的重要性不仅取决于它的实践意义，而且也取决于它的数学意义。数学的概念必须是抽象概括的，数学的推理证明必须是形式化的，所建构的数学知识体系必须经过数学化。数学化就是人们运用数学的方法观察世界现实，分析研究各种具体现象，再加以整理组织的过程。
    有研究把数学化分解为水平的和垂直的两种成分，简述如下：
    ① 水平数学化从具体的客观现象中找出数学的特性，或通过不同的方式将同一个问题形式化或直观化，惑者在不同的问题中识别其同构的本质，以及将一个现实问题转化为数学问题或已知的数学模型，这些都可以理解为同一问题在水平方向的扩展，属于水平数学化的成分。水平数学化是指由现实问题到数学问题的转化，是把情景问题表述为数学问题的过程，大体包括以下内容：
    确定情景问题中包含的数学成分;
    建立数学成分与已知的数学模型之间的联系;
    通过不同方法使这些数学成分形象化和公式化;找出蕴含其中的关系和规则;考虑相同数学成分在不同情景问题中的表现;做出形式化的表述。水平数学化是发现情景问题的数学成分，对这些成分作符号化处理的数学化过程，是从“生活现实”到“符号形式”的转化。
    ② 垂直数学化将某个关系形成为一个公式，或是证明一个定律，或是对同一问题采用不同的模型或对模型进行加强、调整与完善，以致形成一个新的数学概念，或是由特殊情况经过推广从而建立起一般化的理论等，即问题在垂直方向的深入，这都属于数学化的垂直的成分。
    垂直数学化大体包括以下内容：用公式表示关系;对规则做出证明;尝试运用不同的数学模型;对数学模型进行调整和加工;考虑不同数学模型的结合和形成统一的新模型;对得到新的数学概念做出公式化的精确表达;一般化。垂直数学化是在数学范畴内对已经符号化的问题作进一步抽象化处理的数学化问题，是从“符号”到“概念”的转化。在大多数情况下，水平数学化和垂直数学化的界线并不分明。有些问题在数学化得到新的数学概念之后，还要做进一步的工作，这也属于数学化的一部分：对得到的结果做出解释和说明;对得到的模型或方法的适用范围进行讨论;反思和分析已经完成的数学化过程;实际应用。数学化原则反映了现代数学教育观与传统数学教育观的区别。在这里，情景问题居于重要地位，数学的结论是由学生的数学化的过程中自己发现的。
    （6）“再创造”原则
    数学教育方法的核心是学生的“再创造”，也就是数学知识的获得是学生通过自己的实践探究而得到的。事实证明，只有通过这种方式学生才能真正获得知识。按照这一原则，教师不应把各种数学原则、定理强加给学生，而应创造合适的条件，提供足够的实例，让学生自己(或同学间合作)去研究体会。在实践的过程中，提出假想，进行猜测、判断，然后加以证实，自己“再创造”出(或发现)有关的定律或结论。由于每个人的“数学现实”不同，因而“再创造”的过程，不会是整齐划一的。每个人按照自己的方式去创造、去发现，他们经历了不同的挫折和坎坷，采用了不同的方式和方法，许多摸索和碰撞是幼稚可笑甚至行不通的，需要引导和矫正。但是，正是这种自己的创造，画出了各自独特的思维轨迹，其中也不乏闪烁着创新思维的火花。他们可能遭遇了不少的困惑、失败，但从中却不仅学到了数学知识、方法，还学会了寻求“做事”的一般规律，也学会了和别人一起合作探索“做人”的成功之道。
    当然，这种“再创造”的探索，不应该是学生无目的、自由自在的“自流”，教师的组织、指导和帮助，是保证学生在“再创造”之路上成功的必要条件。
    （7）数与形结合原则
    数与形是数学的两个翅膀，只有两个翅膀健全，数学才可以飞得高远。数学教学中，必须不断地把数与形联结起来，使之在内容上互相渗透，在方法上互相补充，才能收到好的效果。正如我国著名数学家华罗庚所说：“数与形，本是相倚依，焉能分做两边飞；数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非。”
    不论是代数、几何等初等数学，还是在此基础上发展起来的高等数学，不论是对抽象关系的研究，还是对复杂的形式结构的探讨，本质上都是对数量关系和空间形式研究的延续、深化和发展，也就是对数与形研究的继续。把数形结合原则作为数学教学的技术策略之一，就是主张利用数形既区别又联系，在一定条件下可以转化的特点，使数学教学中的复杂问题简单化，抽象问题形象化，化难为易。实际上，以中小学数学为例，到处渗透了数与形结合的内容，例如，实数与数轴的结合，函数与图像的结合等;而解析几何则更是把数与形结合起来研究的学科。
    以数形结合的原则进行教学，可以使我们从更加开放的视野，从不同学科、不同领域的对象有着隐蔽的联系的观点去分析问题和认识问题，以不同的思想和方法去解决问题。不仅提高了解题能力，也使我们的思维更加灵活。
    （8）常规训练为主原则
    学数学，离不了解题。有人说，“问题是数学的心脏”、“解题是学数学的根本”，这话并不过分，因为，从数学知识来看，一切概念、定理、法则，实际上都由题目来表达，都由题目联结着。对一个概念是否理解，对一个定理是否认可，对一个法则是否会用，都不是只会背下条文就算了事的，必须经过思考、推理、证明、应用，才算达到要求。要掌握数学知识，必须进行多类型、多层次的一定数量的解题训练。要训练到位，要有一定的达成度和熟练度，形成一定的思维定势，掌握一定的技能技巧。特别是对数学的基础知识，不仅要求要形成一定的技能，还要在运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析和解决实际问题的能力方面达到一定的要求，这些离开必要的训练是不行的，提倡常规训练为主，就是要在这个方面下功夫。有人形容数学好比由一棵棵树木长成的大森林，而一个个题目，则是这树木的枝杈或叶脉，要认识和把握这个数学森林的概貌，就必须从摸清每一棵树和它的枝杈与叶脉开始。当然，并不需要每一个人都摸遍每一棵树的枝杈和叶脉。
    但是，在应试教育指挥棒的指挥下，学数学成了“玩杂技”。不仅要学生在“题海”中遨游，还要求学生有解难题的本事，要掌握解难题的技巧，把数学的解题训练变成了“深挖洞”、“练高招”，形成了技巧训练为主，这种做法偏离了正确方向。但是，对于一般人来说，特别是中学生，他们中的大多数将来并不是要成为数学家或从事需要专门而高深的数学知识的工作。因而，应该对他们进行教学大纲或课程标准中要求的常规训练就可以了，坚持常规训练为主的要求，有利于他们身心的健康发展，也符合他们的实际，没有必要让他们做技巧性很高的训练，以免过多加重他们的负担。