第三节　传统意义下的中小学数学教学原则

    在前两节，我们了解到教学论的一些基本原则以及已有的一些数学教学原则体系在此基础上，我们将在一般教学论原则的指导下，探讨数学必须遵循的特殊要求，寻求中小学数学教学特殊的规律性。
    其实，数学教育界对数学教学原则的说法不一，名目繁多。长期以来，很多人一直认为，数学教学中应遵循四条原则：理论与实践相结合的原则；严谨与量力相结合原则；具体与抽象相结合原则；巩固与发展相结合原则。也有人认为，数学教学的特点由数学特点和学生认识发展规律所决定，因此，只要上述中的前三条即可。还有人认为，教学论中的一般原则，对任何一门学科的教学都适用，当然包括数学，于是只要把教学论中的原则搬过来即可。
    我们认为，数学教学原则，应根据数学教学目的和数学学科特点，以及学生学习数学心理特点来确定，因此，在中小学数学教学中，应主要应遵循如下基本原则：

    一、严谨性与量力性相结合原则

    （一）对数学严谨性和量力性含义的理解

    严谨性是数学科学的基本特点。所谓数学的严谨性，就是指对数学结论的叙述必须精确，结论的论证必须严格、周密，整个数学内容被组织成一个严谨的逻辑系统。这个数学的逻辑系统一般都具有这样的模式：提出完备的公理体系，由此确定尽可能少的基本概念和公理，根据这些基本概念和公理，用逻辑的方法推出一系列的性质和定理。数学的严谨性具有以下几方面的特点：
    1．数学严谨性的形成并非一朝一夕的事，而是要经历漫长的非严谨的过程，才逐渐形成的。例如，大家所熟悉的平面几何学，刚形成阶段是粗糙的，并且只停留在凭经验水平，也没有经过系统化，只是些零星的个别问题的特殊解法，这是实验几何阶段。直到公元前3世纪，著名的几何学家欧几里得才在前人的基础上，按照严密的逻辑系统，编写了《几何原本》，共13卷，奠定了理论几何的基础。但这时的《几何原本》仍然存在公理不够完整、论证有时求助于直观等缺陷。这些缺陷直到19世纪中叶才渐渐被人发现，到19世纪末期，才原则上完成了对几何逻辑结构的认识，达到当前严密的程度。微积分的发展也一样，牛顿和莱布尼兹于17世纪后半叶建立了微积分，直到19世纪初，它还是不很严密的。再有，函数概念的发展也是经历了几个发展阶段才逐渐严谨起来的，这一点在中小学数学课本中就有明显的反映。
    2．数学严谨性会随着人们的认识能力的发展而逐步提高。例如，学生刚学习线段、射线、直线的概念时，对它们三者的区别往往是模糊不清的，看到一条线便想到直线，以至会出现求“直线AB的长度”等语言不严谨的错误。一般来说，学生刚学习一些较精确的数学概念和语言或一些严格的推理论证时，往往感觉不很适应，认识也要依赖于直观，只有通过一段时间的学习，才会真正理解其含义，达到一定严谨性的要求。因此，数学的严谨性在学习理解上具有阶段性。
    3．数学的严谨性还具有相对性。这就是说，侧重于理论的基础数学和侧重于应用的数学，它们对严谨性的要求是不一样的。正因为如此，对于同一数学内容，如函数极限，数学系的教材和工科的数学教材在方法处理、体系安排上均有很大不同，前者注重知识的发生过程，后者则偏重知识的发生结果。
    所谓量力性，简而言之就是量力而行。这主要是针对数学教学的对象而提出的，它要求教师应充分考虑到学生思维发展的水平、理解的程度和接受能力来组织教学，既不可要求过高，也不能要求过低，要使所授的知识可以让学生接受，但又不是轻而易举便可获得。因此，在数学教学中，如何安排课程、处理教材、设计方法等都必须考虑青少年的年龄特征，对数学的严谨性要有一个逐步适应、逐步提高的过程。

    （二）严谨性与量力性相结合原则的意义

    严谨性和量力性相结合原则，是由数学学科的本质特点和数学教学的特点所决定的，是数学学科的严谨性和学生认识能力的量力性对立统一规律在数学教学中的反映。因为严谨性是发展学生思维能力的核心环节，发展学生严谨的逻辑思维能力，也是中小学数学教学的重要目的之一。所以，严谨性与量力性相结合的原则，实质上即是要求教师在教学中必须首先保证数学内容的科学性，必须保证其内容正确、不矛盾。其次是对教材的处理、采用的方法必须量学生之力而行，必须保证所授内容可以使学生接受，并且达到最佳的教学效果。总之，在强调严谨性时，不可忽视学生的可接受性，在强调量力性时，又不可随意降低内容的严谨性。

    （三）如何有效地运用严谨性与量力性相结合的原则进行教学

    1．认真钻研课程标准、教材，明确把握教材的严谨性要求。一般来说，虽然课程标准、教材对严谨性要求并没有明确指出，但通过仔细分析思考课程标准、教材对各内容要求的深浅度，就可以把握其严谨性要求的高低。教材有时对有些内容避而不谈，或用直观说明，或用不完全归纳法印证，或不必说明的作了说明，或扩大公理体系等，这些做法主要是考虑到学生的可接受性，故意降低内容的严谨性，让学生更好地掌握要学的数学内容。例如，九年义务教育数学教材把方程的同解原理作为选读内容；把平行线的第一判定定理、三角形全等的判定定理，也当作公理来提出，其原因就是希望能避开其繁难的论证，故意降低其严谨性，减轻学生学习的负担，使学生能集中有限的精力和能力去掌握实质性的内容。当前数学教育界提出的“淡化形式，注重实质”的口号实质上也从一个侧面反映出教学必须坚持严谨性与量力性相结合原则的问题。
    2．在具体的概念和定理等内容的教学中，不要一下子和盘托出所要学习的概念和定理等全部内容，要体现出逐层逐步严谨的过程。
    例如，人教版初中数学教科书在提出平行线定义之前，先引导学生观察黑板相对的边线、路边的电线杆、火车的铁轨等实物模型，然后才指出，若将它们都看成是直线，则都是不相交的直线。如果这时让学生归纳出“不相交的两条直线，叫做平行线”，那么就少了“在同一个平面内”这一条件，是不够严密的。如果这时老师再用教室天花板和地板上的两条异面的边线作为反例，指出不相交的两条直线也还有不“平行”的情形，然后再补充、更正学生原来所归纳出的不够严密的定义，这样，学生对平行线的定义的理解便会深刻、精确得多。这样的教学过程既能使学生的认识逐步严谨，又易于学生接受，贯彻了严谨性与量力性相结合的原则。
    3．在教学中，要有意识地逐步培养学生言必有据、思维缜密、思路清晰的良好习惯，这些思维习惯是学生的数学思维严谨性程度高低的主要标志。
    言必有据，即是要求教师无论在计算、推导、论证中，还是在作图中，每一步过程都要有根有据，这些根据即是所学过的概念、公式以及定理等。再具体地说，即是要求学生常常思考或回答：“为什么是这样？”
    思考缜密，就是考虑问题要全面、周密、准确，不能有漏洞。学生对数学定义的本质含义理解不清，忽略定理的条件限定，不注意公式定理的适用范围等，都是思考不缜密的表现。例如，在解绝对值方程、解不等式、讨论函数的有关问题、用分类法解题等，都很容易产生思考不够缜密的问题。思考不够缜密，还表现在使用数学语言不够科学规范方面，如“增长了”和“增长到”是有区别的，不能混用，(a+b)2要读作“a与b和的平方”，而不能读作“a加b的平方”或“a与b的平方”。当然，缜密的思维不是一两天便轻易获得的，而要通过长期的、有意识的训练。
    思路清晰，就是要求学生对解决一个需要分多个步骤才能完成的问题时，要从几个方面进行思考，要分几种情况进行讨论，要从几个侧面进行分析，要按照什么样的步骤展开等都要心中有数，有条不紊。因此，对于学生刚学习的新知识，要求学生写出具体的程序、步骤则是很必要的。例如，在学习合并同类项时，先要求学生找出同类项，再确定各项符号、系数，最后再合并，写出最后结果。又如解一元一次方程，让学生按照“去分母；去括号；移项；合并同类项；用一个不等于零的数去除方程两边”这样的程序去解题，对培养学生的清晰思维习惯是很有帮助的。
    4．在平时，要在研究学生的年龄特点、个性特点、智力、能力水平方面下工夫。如果教师对学生的能力水平等问题估计不准确，就不可能贯彻好“严谨性”和“量力性”的原则。特别是目前全国已基本普及了义务教育，我们的数学教育一方面要面向全体学生，不能只顾少数“尖子生”；另一方面学生的能力水平又参差不齐，差别很大，形成了尖锐的矛盾，要贯彻严谨性与量力性相结合的原则确实有一定的难度。义务教育初中数学教材已充分考虑了这一情况，因此，只要我们认真钻研教材、课程标准，深入了解学生，就能处理好“严谨性与量力性”的问题。