二、数学教学原则体系简介

    （一）在我国影响较大的数学教学原则体系

    1．全国十三所院校协作编写的《中小学数学教材教法》(总论)一书提出了数学教学必须遵循的四条基本原则：①严谨性与量力性相结合的原则；②抽象与具体相结合的原则；③理论与实际相结合的原则；④巩固与发展相结合的原则。
    2．曹才翰、蔡金法先生在合著的《数学教育学概论》中，把数学教学原则分为三个层次，即目的性原则、准备性原则、技术性原则三个层次。其中，目的性原则包含三条子原则：思想性原则、科学性原则、教学与发展相结合的原则；准备性原则包含八条子原则：自觉性和积极性原则、可接受性原则、提供丰富直观背景材料原则、整体性原则、以广度求深度原则、理论联系实际原则、教师主导作用和学生主动性统一的原则、因材施教原则。另外，作者认为技术性原则也应是一个体系，也应有一组子原则，如“具体与抽象相结合的原则”、“严谨与量力相结合的原则”等等都是属于数学教学的技术性原则体系的子原则。
    3．张奠宙先生等人合著的《数学教育学》一书从数学特点出发提出了如下三条数学教学原则：①现实背景与形式模型互相统一原则；②解题技巧与程式训练相结合的原则；③学生年龄特点与数学语言表达相适应的原则。
    4．李玉琪先生在其《数学教育概论》中指出了义务教育初中数学教学大纲中强调的三条数学教学原则：①面向全体学生和因材施教原则；②理论联系实际原则；③展现思维过程原则。
    5．陈重穆先生曾撰文提出三条义务教育中的数学教学原则：①积极性原则；②培养性原则；③科学性原则。关于积极性原则，他谈到了两个方面：一是教师的积极性，包括敬业精神和教师的幸福观；二是学生的积极性，包含四条子原则：兴趣原则、实用原则、“识理”原则、竞技原则。关于培养性原则，他指出，要“通过数学能力培养一般能力”，这里说的一般能力主要指：自学能力、认识能力、创造能力，其中还包含“因材施教原则”，因材施教要注意“抓两头、抓个别，不本位主义”。关于科学性原则，他认为要“从感性到理性”、要坚持“实践的原则”、“巩固与前进”、“整体性原则”。
    6．赵振威先生在其主编的《中小学数学教材教法》(总论)中，从介绍中小学数学学习的特点与过程入手，系统讨论了六条数学教学原则：①具体与抽象相结合的原则；②理论与实践相结合的原则；③严谨性与量力性相结合的原则；④形与数相结合的原则；⑤传授知识与发展能力相结合的原则；⑥发展与巩固相结合的原则。
    7．在张楚廷等人合著的《数学教学原则概论》一书中，作者提出了一个颇具特色的数学教学原则体系。他们不仅提到了一般教学论原则对数学教学原则的意义，而且还结合数学教学的内容和特点，论述了数学教学中的“智力与心力发展相结合”的原则、“知识传授与能力培养相结合”的原则、“深入与浅出相结合”的原则、“思维训练与操作训练相结合”的原则、“收敛思维训练与发散思维训练相结合”的原则、“教师的主导作用和学生的主体作用相结合”的原则。最后，他们提出了四条数学教学的特殊原则：①具体与抽象结合的原则；②严谨与非严谨结合的原则；③形式化与非形式化结合的原则；④基础知识与实际应用结合的原则。
    作为中国教学论研究的著名学者，王策三教授 在其《教学论稿》中提出的教学原则，在相当程度上概括了国内相当长的时间内比较认同的观点，这套原则体系包括8个原则：①思想性和科学性统一的原则；②理论联系实际的原则；③教师主导作用和学生主动性统一的原则；④系统性原则；⑤直观性原则；⑥巩固性原则；⑦量力性原则；⑧因材施教原则。
    此外，吴文侃教授对教学原则体系的构建颇有建树。吴文侃教授在其主编的《比较教学论》中，依据科学性与效用性两条基本标准，构建了一个分层、开放式的教学原则体系。这个原则体系分为两个层次，第一层次由三条原则组成，再由这三条原则派生出第二层次的九条原则。按照这个教学原则体系的设计思想，还可以继续派生出第三个层次的若干条教学原则。这个教学原则体系的第一和第二层次可以表示为：

    其中，第一层次的三条教学原则，其基本含义表述为：
    ① 全面教育与和谐发展统一的原则，即在教学过程中，教师对全体学生所进行的德、智、体、美诸育与学生的身心全面和谐发展要有机地统一起来，把授受知识与培养能力、发展个性统一起来，全面实现教学目标。
    ② 主导作用与主动性统一的原则，即在教学活动中，教师的主导作用与学生的积极性、主动性要有机地统一起来，做到教学相长。
    ③ 合理组织与有效控制统一原则，即在教学过程中，对影响教学效果的主要因素加以合理组织，进行有效的控制，达到实现教学效果最优化的目标。

    （二）国外学者提出的若干数学教学原则

    1．奥加涅相根据前苏联苏维埃教学论所确定的教学原则，认为数学教学应遵循八条原则：①教学的科学性原则；②教学的教育性原则；③教学的直观性原则；④教学的自觉性、积极性原则；⑤学生掌握知识的巩固性原则；⑥教学的系统性和循序渐进性原则；⑦教学的可接受性原则；⑧在全班进行集体教学活动的条件下注意有区别对待的原则。其实，这个体系是把一般教学论的教学原则“移植”为数学的教学原则，也就是把一般教学论的教学原则在数学教学中的具体应用作了一些说明。
    2．前苏联的斯托利亚尔提出了六条数学教学原则：①教学的科学性原则；②掌握知识的自觉性原则；③学生的积极性原则；④教学的直观性原则；⑤知识的巩固性原则；⑥个别指导原则，这个原则体系也可称为“移植教学论原则的体系”。
    3．美籍数学家、数学教育家波利亚提出过数学教学与学习的心理三原则：①主动学习原则；②最佳动机原则；③阶段循序原则。其中，阶段循序原则是波利亚根据他对哲学家康德一句认识论名言的理解并加以充实而移植于数学学习活动。他把学习数学的过程分解为有序的三个阶段：①探索阶段，这是人类认识活动与感受阶段，处于直观水平；②形式化阶段，引入术语、定义、证明，上升到概念水平；③同化阶段，将所学的知识消化、吸收、融会于学习者的整体认知结构中。
    4．荷兰数学教育家弗赖登塔尔(H.Freudenthal)提出的数学教学原则可概括为四条：①“数学现实”原则；②“数学化”原则；③“再创造”原则；④“严谨性”原则。弗赖登塔尔的这些观点已逐渐被我国乃至世界范围的许多数学教育工作者所接受。
    弗赖登塔尔认为，数学是系统化了的常识，常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则。这些法则在高一层次里又成为常识，再一次被提炼、组织，而凝成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以至无究。这样，数学的发展过程就显示出层次性。他认为，一个为大多数人能达到的层次是必然存在的，数学教育家的任务就在于帮助大多数人去达到这个层次，并努力不断地提高这个层次，他还指出达到这个层次的途径。关于“再创造”，他认为学生学习数学唯一正确的方法就是由学生自己去发现或创造出所要学的东西；教师的任务只是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。弗赖登塔尔还说过：“与其说让学生学习公理体系，不如说让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习形式化。一句话，与其说让学生学习数学，不如说让学生学习数学化。”
    针对过去的教学论偏重于对教学原则的论述，而对教学规律的分析不足的现象，前苏联教育科学院院士、副院长，著名的教育家巴班斯基对教学原则和教学规律也进行了深入研究。巴班斯基认为，教学原则是来自于教学规律的，所谓教学规律，就是指按系统论的观点分析教学这一系统与其内的子系统以及与其外的大系统之间的各种联系时所得到的规律性的结论。他认为有9条具有普遍性的教学规律，并可从中引申出目的性原则，教学的科学性原则，教学同生活、同共产主义建设实践联系的原则，可接受性原则，教学的系统性和循序渐进性原则，在教师发挥指导作用下，充分发挥学生的自觉性、积极性原则，直观性原则，依据教学任务和内容、配合运用各种教学方法和手段的原则，为教学创设必要条件的原则，为教学创造必要条件的原则，教养、教导和发展效果的巩固性、理解性和实效性原则等十一条教学原则。巴班斯基还为上述11条教学原则的贯彻执行拟定了更为详细的17条教学规则。这样就形成了“教学规律→教学原则→教学规则”三个层次的、操作性渐强的教学过程最优化的控制体系，成为教学过程最优化理论的重要特色。巴班斯基认为，上述控制体系并不是一成不变的。随着科学技术及其他人文学科的进步、社会的发展和教育研究本身的深入，对教学规律的研究也会有所推动，相应的教学原则和规则都会有所更新。