四、基础性与应用性相结合的原则

    （一）对数学的基础性与应用性的理解

    所谓数学的基础性，一般特指中小学数学教学要确保学生对数学学科的基础知识及基本技能的理解和掌握。而数学的应用性，主要是指应用已掌握的数学的知识、方法等内容，在工作、生活和学习中，适时地提出问题并加以分析和解决。
    需要特别指出的事，随着社会的发展，“双基”的内涵是在变化的。比如对基本运算技能的要求，由于计算器的普及，人们在日常生活中很少实际地用笔算的方式对大数目进行计算，因而，2001年《标准》用较大幅度地降低了对繁杂运算（如较大数目、多位小数和带分数的四则运算）的要求，并提出重视对运算意义的理解，重视估算，鼓励算法多样化，在保证基本运算训练的基础上，鼓励使用计算器，这些都是计算技能的应有之意；空间观念也是现代公民必备的一个基本技能，但它的含义已经不是单纯地“能识图、会画图，掌握平面图形的性质”，还在于能把握并用适当的方式表达物体的空间位置，能探索图形（包括一维、二维、三维）的基本性质，能进行空间推理，能实现二、三维图形间的转化（视图、展开图等）等等；现代公民需要具备的一个重要的基本技能是“收集、整理与描述数据，并能作出合理的决策”，这一点在“统计与概率”领域的目标中被明确地提出来。

    （二）数学的基础性与应用性相结合原则的意义

    首先，在今天，培养“双基”是中小学数学教学目的的具体要求。但是，要用发展的眼光看待基础知识与基本技能问题。我国数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统。随着时代的发展，特别是数学的广泛应用和现代信息技术的发展对社会各个领域的影响，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“数学基础”。例如，为了适应信息时代发展的需要，高中数学课程应增加算法的内容，把最基本的数据处理能力、统计的某些基本知识作为新的数学基础知识和基本技能。同时，应删减一些繁琐的计算。
    另外，数学应用的广泛性是数学科学的基本特点之一。从数学的产生和发展历程看，它与实际密切关联，如几何起源于古代人们对土地的测量需要；关于数的知识起源于狩猎和商业的需要；而牛顿力学则推动了微积分的产生；爱因斯坦的相对论则促进了微分几何的发展……从现代社会的现实来看，随着数学理论的发展以及电子计算机技术的发展，数学已渗透到社会的每一个角落，一切高新技术，从某种意义上说，都可归结为数学技术。就如著名的海湾战争，许多专家学者也都将其归结为数学技术高低的较量。
    但是，长期以来，中小学数学教学实际教学显示，在处理数学的基础性与应用性方面，我们走过弯路，有时过于强调数学的基础性，陷入“数学学科为本”的怪圈，有时又过于强调数学的现实性、情景性和应用性，甚至丧失数学的本质。
    在数学教学中贯彻基础性与应用性相结合的原则是十分必要的，它对提高公民的基本素质有重要意义。它要求我们在数学教学中，既要教给学生数学的基本知识和基本技能，同时又要使学生具有良好的数学感、正确的数学观及应用数学的意识和能力。

    （三）如何有效地运用基础性与应用性相结合的原则进行教学

    1．从实例中引入新知识
    在讲解新的数学概念、定理、法则、公式之前，应尽可能举一些学生身边的实例，让学生从具体的事例中掌握数学概念等数学基本知识。例如，讲解射线概念时可让学生想象一下探照灯、手电筒的光束；讲解相似三角形时可联系平时大家照相的生活例子；杆秤和温度计都可作为数轴的现实原型；电影院的座位编号也可以作为平面直角坐标系的现实例子。这样做，一方面可以让学生体会到，数学的许多概念和原理都是从现实世界中抽象概括出来的；另一方面也让学生逐步学会如何从生活实际的问题中抽象、概括出一些数学内容来；同时，还为最后的数学实际应用打下一定的基础。
    2．在练习中巩固新知
    教师在讲完了一些数学新概念、定理、法则之后，应组织学生先做好练习，掌握一定的基本技能。虽然解答习题不一定就是数学的实际应用，但它是解决实际问题的前提，是把数学知识应用于实际的过渡阶段。例如，只有当学生学习了代数式的概念，以及求代数式的值的方法、合并同类项的方法等内容，并且比较熟练地掌握了处理这些问题的一般技巧之后，才有可能比较熟练地运用这些知识去解决一些实际问题。
    3．在实际问题中培养学生的应用意识
    学生掌握了一定的数学基础知识及基本技能之后，应加强学生应用数学的意识和能力的培养。这主要包括两方面的训练：一方面，要训练学生善于将生活和生产实际中的问题提炼、抽象、概括成数学问题，这在数学史上有许多著名的例子，如“哥尼斯堡七桥问题”、“蜂房问题”、“四色问题”等等。另一方面，还要注意训练学生善于将我们所学习过的数学知识解释或还原成实际问题。例如，学习了分式方程组之后，可以让学生自己“构造”一些实际问题出来。其实，以上的分式方程组，可以反映为下面的几个实际问题：
    （1）去年兄弟俩年龄之比是2∶1，再过5年，兄弟俩年龄之比为5∶3，问今年兄弟俩年龄各是多少？
    （2）甲、乙两仓库如果都运出10000千克粮食，那么所存粮食之比是2∶1；如果运进50000千克粮食，那么存粮之比是5∶3。问甲、乙两仓库原来各有粮食多少千克？”
    4．重视“数学建模”、“问题解决”能力的训练
    在数学概念、定理、法则、例题等内容的教学中，要特别重视“数学建模”、“问题解决”等思维意识、思维模式的培养。教师要充分认识到，学生从双基的掌握到数学知识的实际应用不是一件简单的、自然而然就能实现的事情，没有充分的、有意识的训练和培养，学生的应用意识、应用能力是难以形成、难以提高的。