三、主动性与过程性相结合的原则

    （一）对数学教学主动性与过程性含义的理解

    这里说的主动性，是指数学教学中学生思维活动的积极性、主动性。它是一种由需要、动机、兴趣、情感、意志及注意引起的意向性的心理活动，是学生进行数学抽象思维的必要的心理前提。但是，数学的抽象性、严谨性的特点决定了数学内容的枯燥、难懂，因此，大部分的学生都对学好数学缺乏信心，提不起对它的兴趣。
    过程性，是指数学教学要积极展示数学思维的过程，提示数学概念、命题、结果的获得过程，而不能把数学结果冷冰冰地灌输给学生。越来越多的数学教育工作者认为，数学教学的本质就是数学思维活动过程，获得数学结果的思维、探索过程的价值远远大于结果本身的价值。学习的认知理论认为中小学数学的学习过程是一个数学认识过程，这个过程包括输入阶段、新旧知识的相互作用阶段和操作阶段。
    正如著名数学教育家弗赖登塔尔所指出的“教科书的颠倒”问题——现在的许多数学教科书中知识的编排和数学的发现过程往往是颠倒过来的，从教科书的表面已很难看出数学知识原来的发生过程。在传统的数学教学中，我们确实太偏重数学的结果，而忽视了概念形成的过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程等等。实践证明，这样做会将学生的思维禁锢在机械模仿和记忆的初级水平上，会严重影响学生创造性思维和创新能力的发展。
    事实上，数学教学的活动本身与结果一样，对学生的全面、健康、和谐和可持续发展发展同样重要。

    （二）主动性与过程性相结合原则的意义

    在数学教学活动中，学生学习是否积极、主动，与学生的学习动机、兴趣、情感及意志等有很大关系。要想有效地激发学生的学习兴趣，使学生产生良好的学习动机，以至于能让他们有设法克服困难的勇气与信心，主动去探索解决问题的途径，就必须根据数学教材提供的基本素材，对其进行教学法的加工或数学知识的再创造，设置合理的问题情境，展示数学的思维过程，将数学思维过程的曲折、艰辛以及成果获得后的成功喜悦与激动“重演”给学生，这是提高学生学习数学积极性的有效手段；另外，学生学习的积极性、主动性提高了，又会加深对数学思维过程的理解。其实，由于数学的内容、方法都是高度抽象化的，其知识体系的编排，语言的叙述又相当的严谨，这就使得学生看到的数学往往是一堆抽象的、形式化了的数学符号、公式和定理等，这就给人们造成了数学是那样的枯燥无味，抽象难懂的印象。作为教师，应该充分发挥自己在教学中的主导作用，做好“中间编译者”的工作，运用生动形象的教学语言，重新描绘出数学知识丰富多彩、激动人心的创造和发现过程。只有通过师生共同的努力，让学生亲自把要学的东西发现或创造出来，学生对获得的数学结果的记忆才是牢固的，对数学知识的理解才是深刻的。这样，学生会将学习数学当作一件乐事，一种美的享受。所以，积极性、主动性与过程性相结合的原则对有效地提高教学质量具有非常重要的意义。

    （三）如何有效地运用主动性与过程性相结合的原则进行教学

    在教学过程当中，切实贯彻积极性、主动性与过程性相结合的原则就要做到如下几点：
    1．创设合理的问题情境
    在讲授新的数学内容之前，应先设置良好的问题情境，以激发学生的求知欲。这里所提的“问题”至少要具备两个条件；①“问题”与所讲的新内容是有紧密联系的、有意义的；②“问题”还要富于启发性，不能太容易，也不能太难，要让学生通过努力后可以解决。至于设置问题情境的方法，则是多种多样的，可以运用数学史中的典故，运用类比，使用生活中的错误经验，让学生亲自动手实验，通过解决实际的应用问题，引用生活中的实例等都能导出引人入胜的问题情境来。例如，在讲解圆和圆的位置关系这一教学内容时，就可以引入这样的教学情境：用课件演示太阳、地球、月亮三个天体在发生日食、月食等不同现象时的位置关系，这不但可以激发学生的学习兴趣，更重要的是这能够让学生真实的感受到两圆的五种位置关系，这对后续的学习起到了很好的铺垫作用。
    2．充分发挥教师的主导作用
    教师在教学过程当中，应做好启发、引导的工作，有意识地将问题向原来设定的目标引导，及时总结思维过程中的经验教训，归纳出确切的结论。教师启发引导主要表现在既有导的过程，又有导的效应。正如前苏联数学教育家斯托利亚尔所说：“数学教育学不能建立成听任学生在积极的思维活动和单纯的死记硬背之间进行自由选择的教学，应当建立成以全体学生的积极思维活动为基础的积极的数学教学。”
    下面举一段教学实例来加深对问题的理解。
    课题：圆的特性
    教师：为什么车轮要做成圆的呢？(设置了合适的问题情境，激发学生的兴趣)
    学生：能滚动呀！(似是而非，教师不要轻易否定)
    教师：为什么不做成正方形的呢？
    学生：因为正方形不能滚动！(预料之中的回答)
    教师：好！那为什么不做成“扁圆”形状呢？这种形状也能滚动啊！(教师边反问边画出“扁圆”图形。这时学生陷入了困境，但这是合适的问题情境，学生已开始积极思维，对问题产生了兴趣)
    教师：如果车子的轮子是扁圆的，车在平路上行驶会出现什么情况？(充分发挥了教师的主导作用，启发、引导学生沿既定目标思维)
    学生：一高一低，不平稳！
    教师：好！现在大家再重新说说，为什么车轮要做成圆的？
    这时，学生已经从新的认识水平上，用圆上任一点到中心的距离相等的特性来加以解释了。这个数学教学过程充分发挥了教师在提示数学思维过程中的主导作用，有效地贯彻了积极性、主动性与过程性相结合的原则。
    3．对学生在数学思维活动过程中的表现给予恰当的评价
    教师只有在能设身处地体会学生的实际情况，从学生的角度出发，对学生的思维表现给予恰当的评价，保持对学生的期望感时，学生的思维才能保持积极状态。一般说来，用鼓励表扬的方式激励学生，以期待的目光、信任的语言引导学生，更能保持学生的积极性、主动性。
    4．突出对解题思维过程的讲解
    在问题解决（指一般的数学解题）教学时，教师要教给学生的不是问题的结论，而是解决问题的思维方法，这样，学生再遇到类似的问题时便有章可徇、有法可依。同时，教师不仅要讲解成功的经验，还要讲失败的教训。要常常回答这样的问题：“为什么要这样做？”或“为什么不能这样做？”许多教师在分析问题时往往没有注意回答好这两个问题，出现了“思维断层”现象。例如，讲解下面一道例题。
    已知：p＞0，q＞0，p3+q3=2，求证：p+q≤2。
    有的教师是这样分析的：要证p+q≤2，因为p＞0，q＞0，故只要证(p+q)3≤23即可；要证(p+q)3≤23，只要证23-(p+q)3≥0即可……表面上看，这样的分析是有思维过程的，无可厚非，但却有学生反问教师：“要证p+q≤2，为什么一定要证(p+q)3≤23呢？为什么你不想到证(p+q)2≤22呢？这样同样可证得p+q≤2呀！”其实，还要结合题设条件p3+q3=2，才会想到证(p+q)3≤23。另外，要证(p+q)3≤23，也不仅仅只有用“差比法”才能证明。可见，上面的教师的分析过程存在明显的“思维的断层”现象。