第九章 中小学数学的教学工作

    教学作为课程实施的主要渠道，有其自身的规律，提高中小学数学课程质量，要从中小学数学的每项具体工作做起。事实上，教学是一个复杂的动态系统，如何使系统中的各组成要素（如教师、学生、教学方法、教学手段及教材等）组成最佳结构序列，充分发挥各自作用，提高教学效能，是研究教学组织的主要任务。

第一节 备课

    备课是教学活动的开始，是上课的准备工作，是整个教学工作赖以进行的前提条件。备课不仅是教师把可能的教学能力转化为现实的教学能力的过程，而且也是教师提高知识水平和教学能力、总结教学经验的过程。面对当今科学技术迅猛发展的形势，面对新时代青少年开阔的视野、活跃的思维，教师如果不做充分的准备，对教材中的有关知识一知半解，没有深透领会，熟练掌握，是无论如何也不能满足学生的求知欲望和教好学生的。这就如古人所说的：“以己之昏昏，焉能使人之昭昭。”可见，充分备好课是上好课的前提。教学实践表明，教师在备课上所花功夫的多少直接影响授课的质量。
    备课的工作内容包括学习教学大纲（课程标准）、钻研教材内容、阅读参考资料、了解分析学生的情况、确定具体恰当的教学方法、制定阶段的教学计划和设计每一课时的教学方案。

    一、备课的基本要求

    （一）认真学习教学大纲（课程标准）

    1．依据教学大纲（课程标准），确定教学目标
    教学大纲（课程标准）主要从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个层次划分教学目标。在教学实践中，教师既应明确各教学目标之间的联系，又应明确目标的主次。在具体的过程中，基本目标和情感目标、智力目标之间应以基本目标为主。在基本目标内部又有不同的具体目标，也应有所侧重。

    2．依据教学大纲（课程标准），明确教改方向
    现行数学教学大纲具备一个突出的特点：着眼于提高民族素质，注重对能力的培养。改变了以往只重视知识传授的传统观念，这就要求教师既不能只传授知识而忽略能力的培养，也不能离开知识空洞的谈培养能力。只有把二者结合起来，才能使教学实而不死，活而不空，切实提高学生的能力。

    3．依据教学大纲，廓清知识结构
    现行教学大纲从提高民族素质的需要出发，适应现代科学技术的发展，更新了知识内容，出现新的知识结构，这应当引起教师的特别注意。

    4．依据教学大纲，把握教学重点
    教学大纲都将教材中的全部知识点分清层次，并对其中的重点、难点加以提示，教师在教学中应据此把握重点，抓住关键，有效地提高教学质量。

    （二）钻研教材

    由于教材的编写，为了简明和规范的要求，往往压缩了概念的形成过程，掩盖了定理、公式和法则的发现过程，隐去了数学思想的详细的阐述过程，精简了规律的提炼过程，是一种“冰冷的结果”。所以教师对教材，不能只停留在对结论的了解、掌握和运用上，更不能把教材中的基础知识抄在备课笔记中，在课堂上照本宣科，它需要对基本概念的形成过程和它的丰富内涵作深层次的探索与分析；需要对定理、公式和法则的发现过程作广泛的研究与探索；需要对数学规律的认识过程做出符合学生心理的考察与构思，“化冰冷的结果为火热的思考”，这就是教师对教材的加工与再创造的工作，是对教材的理解与挖掘。具体解决如下问题：

    1．弄清教材的基本要求
    教材的基本要求包括思想性、应用性、基础知识的深广度、基本技能和技巧的水平以及发展能力的侧重点等方面。
    教材的思想性主要体现在数学内容中所包含的辩证唯物主义观点。中学数学中的大量概念都有现实的模型，钻研教材就要特别注意这些概念是如何从现实世界的具体事物中抽象出来的。中学数学内容中的辩证内容尤其丰富。例如，运动、变化、发展、转化，由量变到质变，对立统一观点几乎渗透在各个章节的具体内容中。
    教材中某些内容所涉及到的数学史料，尤其是中国数学史资料，也是体现思想性的一个重要侧面。
    应用性则主要表现为两方面：其一，选取的内容为社会生产和生活所需要的知识，在现实中感受得到、用得上；其二，重视培养和发展学生的综合思维能力和实际运用知识的能力，加强对学生的学法指导，并把学生的能力培养放到重要位置。
    教材所包含的基础知识深广度，既要从整体上作一般了解，又要从局部上作精细分析，例如函数这一基本知识，初中数学将其分为积累素材和建立初步概念两个阶段，每个阶段的具体要求如何？各个阶段的分寸如何掌握？这些问题必须在纵观全局的基础上，在深入研究各个课题内容、例题和习题之后才能真正清楚。
    基本技能、技巧要求的水平主要通过对例题、习题的钻研来掌握。
    发展能力的侧重方面决定于教学内容的类型和难易。对于概念教学侧重于观察、抽象、概括、辨析等能力的培养；对于定理、法则、公式教学，侧重于归纳、类比、分析、综合等探究能力的培养；对于较容易的数学内容的教学，侧重于培养自学能力；对于较难的内容的教学，侧重于培养分析问题和解决问题的能力，等等。

    2．沟通知识联系，把握教材知识体系
    数学是一门系统性强、逻辑严谨的学科，数学教师不仅要钻研教材的基础知识，更要熟悉所教的基础知识在整个数学教材中的地位和作用，基础知识之间的相互联系，熟悉随着学习的深入、知识结构逐步变化的情况，这就需要教师具有对知识体系的把握能力。
    例如，教师在研究教学内容时，非常注意对“如何以旧引新，以新带旧”这个问题的思考。只有注意知识间的联系，学生才不会误认为所学的知识是孤立的，对知识的掌握不是单凭记忆的。知识之间的相互关系种类有很多，主要有从属关系、并列关系、发展深化关系、对立关系等。教师注意这些知识之间的联系可以从这些关系中进行探索。

    3．深入挖掘教材各知识点的其他价值
    知识点是教师吃透教材的基础。教师在分析教材时，要将知识点一一列举出来，以便教学时心中有数，评价时有所依据，确保知识点的落实。另外，还应注意深入挖掘每个知识点对学生其他能力的培养，比如智慧技能、解决问题的能力、情感态度和价值观的培养等，以激发学生的学习兴趣，培养和发展学生的能力。

    4．确定重点、难点和关键
    这是课堂教学的着眼点，直接决定着教学的成败。所谓重点，是在学习中贯穿全局、带动全面、应用广泛，对学生认知结构起核心作用，并在进一步学习中起基础作用和纽带作用的内容。教学重点是最重要、最基本的中心内容，是教师设计教学结构的主要线索。教师要在对教学内容进行深入分析、统观全局的基础上，确定教学重点，并紧紧围绕重点内容设计教学，突出教学重点。它由在教材的知识结构中所处的地位和作用来确定，通常教材中的定义、定理、公式、法则是教学的重点，数学思想方法是教学的重点，基本技能的训练要求，定理、公式推导的思维过程是教学重点。
    所谓难点，是指学生感到难以理解或接受的内容，是造成学习成绩差距的分化点。这些内容或是由于知识本身抽象、复杂而难以理解，或是由于学生缺少必要的知识准备而难以接受。在分析教材的时候，要根据具体内容的特点和学生的知识基础来确定教学难点。应注意的是，虽然有时教学重点和教学难点是统一的，但重点不一定是难点，难点也不一定是重点。
    所谓关键处，是指在学生理解和掌握知识的过程中起关键性作用的那些知识点，即通常说的“教学突破口”。教学关键点的确定，要在明确教学重点、难点的基础上在新旧知识的结合点上做文章。

    5．为学生提供思维训练的材料
    思维需要借助教学内容进行分析、综合、比较、抽象、概括等过程来实现，提供思维训练材料是对教学内容的加工组织，以训练学生思维。思维训练材料分两类：一类是感性材料，它是依赖感性表象来训练思维的材料；另一类是理性材料，它是以概念、判断和推理等基本思维形式训练思维的材料。学生在解决新课题时，往往出现思维受阻，需要教师在学生原有认知结构中寻求解决新课题的连接点，并提供再现旧知识的材料；学生接受新知识、新技能有困难，教学内容有一定的跃度，教师就需要安排铺垫性的材料，以旧引新，以低引高，揭示新旧知识之间的逻辑关系；为了培养学生的能力，教师需要提供探索性的思维训练材料，设计各种变式训练的问题。因此，提供思维训练材料是教师钻研教材的基础上，对教材的加工和再创造的工作。

    6．备好习题，正确组织练习
    练习是数学教学的有机组成部分，对于学生掌握基础知识、基本技能和发展能力是必不可少的，是使他们学好地数学的必要条件。练习的目的是使学生进一步理解和掌握数学基础知识，训练、培养和发展学生的基本技能，能够及时发现和弥补学习中的遗漏和不足，培养学生良好的学习习惯和品质。要注意充分发挥练习的作用，加强对解题的正确指导，应注意引导学生从解题的思想方法上作必要的概括。
    教师必须加强对习题的研究，对习题做出精心的选择和安排。选题必须从练习的目的、内容、形式、分量以及学生的接受能力等多方面去考虑，才能使学生练得适当，练得有效果。

    （三）了解和分析学生的学习情况

    教师设计教学总是要求学生在一定时间内达到一定的目的。是否能够达到这个目的需要教师了解学生的学习现状，找出现状与目的之间的差距及产生差距的原因。全面深入地了解学生，研究学生，熟悉学生的学习基础和心理特点，掌握学生的各种情况，是教师确保备课切合实际、有的放矢的重要依据。这就要求教师做到：

    1．了解、分析学生的认知结构
    学生的认知结构，是指学科知识的实质内容在学生头脑中的组织结构。在学习过程中，学生原有认知结构中是否有适当的、用以同化新知识的观念（概念、原理、原则），这些观念是否稳定、清晰，以及新知识与学生已有的认知结构中的知识可变程度，都会直接影响学习活动的效果。
    如初中一年级“有理数的运算”教学，其中新知识包括:有理数的加法和减法(运算法则、运算律)；有理数乘法和除法(运算法则、运算律)；有理数的乘方。
    学生原有认知结构中用以同化新知识的观念不仅仅是有理数的知识，还应包括小学阶段的算术数(正整数、正分数和零)以及算术数的四则运算基础。教师的学情分析能力就体现在对学生算术四则运算掌握程度的了解。如果学生能够正确、熟练掌握算术四则混合运算那么初一有理数教学的重点就集中在相反数、绝对值的概念揭示，以及掌握运算符号法则的教学上。教师对学生认知结构进行分析，就会注意到在课堂教学中哪些内容学生已经理解、掌握，不需要教师再多讲解；哪些是学生虽然了解，但是随着数学学习的不断深化，内容要求的提高，还需要教师进行指导；哪些内容理解不深，掌握不熟练，但是只要教师稍加点拨就能加深理解和掌握的；有哪些知识还属于难点……都是需要教师在今后学习中作精心安排，逐步解决的。

    2．了解学生的思维状况和思维特点
    有经验的教师不仅分析学生学习情况的结果，还很注意把产生结果的过程作为学习情况分析的重点，重视学生学习数学的心理活动过程和心理变化的规律，注意分析学生学习心理的各种障碍。为了及时排除障碍，教师应该分析学生产生心理障碍的原因。同样一个问题，有许多学生都做对了，但他们可能有着不同的思维过；也有一些学生做错了，但是造成错误的原因也许不尽相同。还要分析不同类型学生的个性心理特征，因为每一个学生的生理素质、生活环境、教育条件、爱好特长都不一样，既要研究学有余力的学生的学习心理，又要分析学有困难学生的个性心理。
    学习情况的了解与分析，为教师的教学设计提供了依据。课堂教学的设计是以大多数中等水平学生的情况为基本出发点，同时又适当注意照顾两头来考虑的。
    教师了解学习情况可以从以下几个方面着手：第一，建立教学反馈系统使教师及时了解学习情况，进行对教学的有效控制。这就要求课堂教学中，教师不仅是信息输出，还要注意课堂学习中学生的一些细微反映；课后批改作业不是例行公事，而是接收教学信息的重要途径。第二，疏通了解学生学习情况的各种渠道。教师必须广泛地接触学生，倾听他们的回答，不轻易否定学生的叙述，为他们提供更多表达想法的机会。第三，主动开辟了解学习情况的途径。建立学生的学习档案，系统了解学生的知识基础；通过其他任课教师的意见反馈，了解学生个性心理、爱好特长；进行家访、个别辅导、谈心，有针对性地了解学生的情况等等。

    （四）确定课堂教学目的

    确定教学目的的意义主要有四个方面：是选定教学内容、教学方法的依据；教学大纲（课程标准）中规定的中小学数学教学目的是通过各章、节、课堂教学目的得以落实的；教学目的是评价教学成效的依据；教学目的为学生明确学习要求提供依据。制定教学目的时应该注意关于知识、技能、过程与方法、情感态度与价值观三个角度有机地、整体地进行筹划，而不能有所偏废。另外，还要从学生的学习基础、可能达到的发展水平出发制定教学目的，并用简练的语言把教学目的概括出来。
    例如“代数式的值”这一课的教学目的是：“在学生理解代数式概念基础上，掌握代数式的值概念和求法。初步了解代数式中的字母的取值范围。培养学生正确的书写格式，并渗透对应的思想。”这里考虑到初中一年级学生刚开始学习代数式，代数式中字母的取值范围要求只能随着学习的深入步步提高，因此，提出了“初步了解”这样的教学目的。而教学目的中“培养正确的书写格式”与“渗透对应的思想”等要求的提出就说明教师对教育目的和发展目的的思考。

    （五）选择和组织教学内容以及教学方法

    选择和组织教学内容就是根据教学目的的要求，把教材加工成课堂上便于师生双边活动的程序材料。这里的材料不局限于一本教材，还有教学参考书、指导书，根据实际情况和需要，补充适当材料，围绕教学目的引经据典、广征博引以丰富课堂内容，提高教学效能。
    在选择和组织教学内容时，实际上同时考虑了教学方法。一般说来，任何一堂课都不会采用某种单一的教学方法，往往是多种教学方法的结合与使用。