二、具体与抽象相结合原则

    （一）对数学抽象性含义的理解

    抽象性是数学的基本特点。所谓数学的抽象性，是指为了在比较纯粹的状态下研究客观世界的空间形式和数量关系，不得不把客观对象的所有其他特征抛开不管，而只抽象出它的空间形式和数量关系进行研究。因此，数学是以客观世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象，具有十分抽象的形式。一般来说，数学的抽象性至少表现在以下几个方面。
    1．数学的表现形式是高度抽象的。
    数学内容的抽象性决定了其表现形式也是高度抽象的，所以，数学思维必须将思想材料概括为抽象的形式化的内容。例如，圆是我们在日常生活中常见的图形，用数学的语言抽象出圆的定义为：在平面上，到定点的距离等于定长的点的集合，如果一个圆的圆心是点O，那么用符号语言可以将这个圆表示为：⊙O，这种表示也是很抽象的。
    2．数学的方法是高度抽象的。
    这不仅表现在数学使用了大量抽象的数学符号，还表现在它的思维方法上。数学思维以深入细致的观察为基础，以分析、综合、归纳、概括、类比等为手段，充分运用逻辑推理的方法去进行思维。例如，反证法、数学归纳法、极限的方法、微积分的方法等，都充满了抽象性，因此，数学的思维以抽象思维为主。这一点和别的自然科学学科有一定的区别，如物理学、化学等学科，它们以观察、实验为主要思维手段；又如语文、外语、音乐等学科，它们以形象思维为主要手段。
    3．数学的抽象性是逐层递进。
    数学每一次向更高层次的抽象必须在前一次抽象材料的基础上进行。例如，由数到式，由式到函数，又由函数到关系等，都是一个层层递进的抽象过程。
    4．数学的抽象可以达到人们感知所不能达到的领域。
    例如，小学时我们学习十位数以内的加法，可以用扳手指头的方法去做，但学到多位数加法时，却不能用扳手指头的方法去做了，必须用一定的抽象思维去思考。一维空间我们可以通过火车在铁轨上行驶的情景去感知，二维、三维空间我们也还可以从我们的生活找到实际模型去感知，但四维、五维……以至n维空间，我们便很难感知到了，单凭直观是不行的，只能抽象地在头脑中思考。

    （二）具体与抽象相结合原则的意义

    不管数学如何的抽象，但它必须以具体的客观现实作为基础。任何抽象的数学概念和命题，以至抽象的数学思想和方法，都有具体生动的现实模型和实际背景。例如，从原始人分配猎物、计数等具体活动中，人们抽象出对应的数学概念和思想；从研究天体运动、航海活动中，人们引进了对数概念；从生活常见的实物，如桌面、窗户等抽象出矩形等概念，所以，具体性是数学抽象性的基础。另一方面，抽象性又要以具体性为归宿，因为从哲学认识论的意义上说，实践是检验真理的唯一标准，数学理论的正确性也应由实践去检验。
    从研究数学的目的来看，数学必须为解决社会活动中的理论性和实践性问题而服务。例如，函数概念、方程问题等，都是从解决具体的现实问题的实践中产生的，将它们再运用到实际中，便又可以解决许多不同的具体问题，最终以广泛的具体性为归宿。
    所以，数学中的具体与抽象是相对的，互相区别又互相联系，而且在一定的条件下又可互相转化，是辩证的统一。由感性的具体到抽象，又由抽象的思维到具体，这是人们认识具体数学事实的基本的认识规律。正因为这样，具体与抽象相结合的原则，是教学过程与人的认识规律的共同性与特殊性规律所决定的，在数学教学中具有特殊的指导性意义。

    （三）如何有效地运用具体与抽象相结合的原则进行教学

    当前，中学生的抽象能力普遍较弱，表现在过分地依赖具体材料，一方面不能有效地从具体素材中过渡到抽象的数学内容中去；另一方面又不能灵活地将抽象的数学理论应用到具体的问题当中。而在教师方面，又往往容易忽视设置较好的现实问题情景，或运用直观的教学手段，将问题逐渐过渡到抽象的数学内容中去。这一教学矛盾的产生，主要原因就在于没有妥善处理好具体与抽象的关系。为了更有效地提高教学效果，教师在教学中应遵循从具体到抽象，再由抽象回到具体的教学模式进行教学，一般来说，应该注意加强以下几个环节。
    1．通过运用生动、形象、具体直观的现实材料和教学语言来引入和阐明新的数学概念等内容。例如，通过温度的升降，货物的进出等实例引进具有相反意义的量，再进一步提出正数、负数的概念。又如，学生在刚学习立体几何时，常常难以想象图形在三维空间中的情景，这时教师可引导学生先观察活动的门板、讲义夹、粉笔盒等实物模型。只有当学生形成了一定的感性认识之后，才可能形成抽象的概念。值得注意的是，有人误以为看得见、摸得着的“现实材料”才是生动、形象、直观的，因而忽略了运用语言或形式的直观去引入数学新概念。其实，如果现实中难以找到具体的模型，还可以从学生已有的“数学现实”中去发掘，这些“数学现实”可能是低一层次的数学的抽象，但这些抽象在具有一定能力的学生看来却仍然是形象直观的。
    2．教师在运用生动形象、具体直观的数学材料来引入和阐明新的数学概念时，应及时发挥教师的主导作用，引导学生抽象归纳出具有一般性的数学概念和结论来。因为具体、直观只是手段，而培养抽象思维能力才是我们的重要目标。
    例如，利用“辘轳”、汽车驾驶室里的方向盘的转动、表盘上的指针的转动等现象，引入“旋转”的概念“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”，往往可以在直观感受的基础上，通过对这几个具体形象的事例的分析归纳之后，及时地引导学生抽象出“旋转”的概念，不仅使学生在认识上排除了非本质的特征因素的干扰，而且使认识得到了进一步深化，培养了学生的数学抽象能力。
    3．抽象到具体。学习了有关的、抽象的数学理论之后，应将它再运用到具体的实践中去，解决具体的问题，解释具体的现象，这个过程对学生深刻掌握有关的数学理论知识，培养学生的能力有重要的实践意义。
    例如，在学生学习了平行四边形的不稳定性后，再让学生用这一性质去解释：为什么伸缩门由许多个平行四边形组成？
    从具体到抽象，再从抽象到具体的过程，往往不是一次完成的，有时要经过循环往复才能完成。只有在教学中时时注意坚持具体与抽象相结合的原则，才能取得最佳的教学效果。