二、数学思维的品质

    思维的发生与发展，既服从于一般的、普遍的规律性，又表现出个体差异性。这种个体差异性体现在个体思维活动中的智力特征方面就是思维的品质，有时也称思维的智力品质。因此说，人们在数学活动乃至一般的实践活动中所表现出来的思维能力，主要取在于一个人的思维品质。
    数学思维品质反映了个体间数学思维发展水平的差异，是衡量数学思维优劣，判断数学能力高低的主要指标。数学思维的品质主要包括：深刻性、广阔性、灵活性、创新性、目的性、敏捷性以及批判性。

    （一）数学思维的深刻性

    数学思维的深刻性经常被称为分清实质的能力。这种能力表现为在分析问题、解决问题过程中，能够探求到所要研究问题的实质，以及问题之间的相互联系。
    我们认识一个事物，总是受到两方面的制约，一方面是受到对象本身的制约，而另一方面是受反映对象的背景所制约，如果反映对象的背景材料不全面，那么必影响对对象的深刻认识，所以后者往往是无意识地在起作用的。
    思维的深刻性还表现在不满足于个别的特殊的结论，而注意探索其一般的规律。从特殊到一般进行联想，是培养这一深刻性的一个重要方面。
    思维的深刻性的反面是思维的肤浅性。表现为只满足一知半解，对概念不求甚解；考虑问题时，不去领会问题的实质。这反映在数学学习中，对一些定理、公理往往不去思考它们为什么成立，在什么条件下成立；做练习时，照葫芦画瓢，不去领会解题方法的实质。
    克服学生思维的肤浅性，就需要教师在教学中提醒学生不迷恋于事物的表面现象，引导他们自觉地思考事物的本质。

    （二）数学思维的广阔性

    思维的广阔性，又称思维的发散性，是指思路宽广，善于多方探求。表现在善于全面地看问题，不仅善于抓住某个问题最一般的基本框架，而且不会遗漏有关的重要细节和主要的因素；是一种不依常规，寻求变异，从多角度、多方面去考虑问题，寻求解答的思维品质。
    在数学学习中，应要求学生既把握数学问题的整体，抓住它的基本特征，又要求不忽略重要的细节和特殊的因素，放开思路进行思考，解决问题。不过思维的广阔性也是以丰富知识经验为依据的，数学教学中可引导学生从各方面联系，寻求多种解决问题的方法。
    例如：若x1，x2，y1，y2均为实数，
    
    由本题的形式结构，学生极容易想到证明不等式的常用方法，进而联想到重要不等式。但运算非常繁锁(这种方法的具体步骤从略)。如果我们对题目中的数学关系及结构特征作一细致的分析研究，摆脱过去经验的束缚，打破常规，开阔思路，就会发现：

（1）与坐标平面上两点间距离公式形式相同； （2）与复数的模及其性质的形式相同。 于是得到两种解法： 方法一：由联想(1)，不妨设点A(，)，B（-，-)，O(0，0)， 在△ABO中有|AO|+|BO|≥|AB| 　 ∴不等式(I)成立。 方法二：由联想(2)，设=+i，=+i 又已知对任意复数，，有|+|≤||+|| ∴不等式(I)成立。

    这两种证明既简洁，又具有独到之处。如果经常这样训练，对开阔学生思路，活跃学生思维大有裨益。
    在数学教学中，为了培养学生思维的广阔性，还可以运用解题思路，改变题目条件和结论，使所学方法得到广泛应用。通过这种变换和转化，可以扩大学生的视野，使思维广阔，所学的方法可得到广泛的应用。
    思维的广阔性的反面是思维的狭隘性，具体表现为思考问题时脑子经常放不开，跳不出条条框框的束缚，思维处于封闭状态；在学生的数学学习中经常表现为只是围着书本和教师转，或者陷入题海之中，得不到主动发展。长期下去必然造成学生的思维的片面和狭隘，这对培养学生的思维能力会带来很大的消极作用。

    （三）数学思维的灵活性

    数学思维的灵活性是指能够根据客观条件的发展与变化，及时地改变先前思维过程，寻找新的解决问题的途径，因此说，思维的灵活性能及时摆脱心理定势。
    思维灵活性的反面是思维的呆板性。知识和经验经常被人们接按着一定的、个人习惯的“现成途径”反复认识，这就产生了一种先入之见，使思维倾向于某种具体的方法和方式，使人在解题过程中总想遵循业已知道的规则系统——这即是思维的呆板性。思维的呆板性反映在数学教学中就是片面强调分析问题和解决问题的程式化或模式化，缺少应变能力。

    （四）数学思维的创新性

    数学思维的创新性是指独立思考创造出有社会(或个人)价值的具有新颖性成分的成果的智力品质。这是思维活动中最宝贵的品质。它的特点是主体对知识经验和思维材料进行新颖的组合分析、抽象概括以致达到人类思维的高级形态。
    在数学教学中，思维的创新性主要表现在学习数学的过程中善于独立地思索、分析和解答问题，提倡探讨与创新精神，当然也包括小发明创造。在中学数学中，思维的创新性更多地表现在发现矛盾以后，能够做到把知识融汇贯通，以进攻的姿态，突破矛盾，从而最终解决问题。
    思维创新性的反面是思维的保守性，它的主要表现是，在数学学习中受到各种条条框框的限制，思维落俗套而受束缚，不愿多想问题，只求现成的“法规”，而产生思维的惰性。消除思维保守性的有效方法是提倡学生多思和多问几个为什么，教师在加强基础知识与基本训练的前提下，要提倡学生独立思考。

    （五）数学思维的目的性

    数学思维的目的性是指在思考问题时，要力求思维的方向总放在解决问题的目的上，从而做出明智的选择，力求寻找达到这一目的的捷径。
    数学思维的目的性，表现为主体持续不断地探索问题，有努力获得知识的愿望，因而思维的目的性含有思维的主动性因素。它要求根据问题的条件及结论的特点，使得解题中的每一步变形、化简等都有明确的目的性，抓住问题的难点及关键所在，设法加以突破，从而解决问题。在数学教学中，教师应时时处处明确目的，并随时激励学生的求知欲，使之发挥主动性，形成一个良好的学习情境。
    思维的目的性有助于思维的合理性，因此，在解多个题目时，思维的目的性往往可节省时间和精力。
    思维的目的性的反面是思维的盲目性，在解题时，不知题中最后要求什么，拿起来就做，或者瞎碰碰瞎摸模，这样不仅有时找不到解答，而且还浪费了大量的时间和精力。

    （六）数学思维的敏捷性

    数学思维的敏捷性指思维过程中的简缩性和快速性。具有这一思维品质的人在处理问题和解决问题的过程中，能够适应紧迫的情况来积极地思考，并迅速地做出判断。但是，思维的轻率性绝不是思维的敏捷性品质。另外，思维的敏捷性也要求具有记忆的条理性，即要求记住的东西经久不忘，迅速而正确地再现基本知识和把经验条理化。如果记忆杂乱无章，则必然出现既不能记住本质的东西(因被杂乱无章的非本质的东西冲淡)，也不能及时再现思维所需要的东西，所以很难达到思维的敏捷，甚至，可能出现它的反面——思维的迟钝性。
    在数学学习中，思维的敏捷性主要表现为能缩短运算环节和推理过程，“直接”得到结果。

    （七）数学思维的批判性

    数学思维的批判性是指，在数学思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的思维品质，思维的批判性品质是思维过程中自我意识作用的结果。在数学教学过程中，学生思维的批判性表现为具有一种趣向（和能力），即愿意进行各种方式的检验，检验已经得到的或正在得到的粗略结果，检验归纳、分析和直觉的推理过程；还表现为善于找出和改正自己的错误，重新计算和思考，找出问题所在。
    思维批判性的反面是无批判性，这也是许多中学生的思维特点。他们常常表现为轻易相信结论，不善于或不会找出自己解题中的错误。为此，在教学中经常出一些改错题，对克服学生思维的无批判性是有好处的。

    这七个方面的思维品质彼此相互联系，密不可分，处于有机的统一体中。其中数学思维的深刻性和广阔性分别从纵向和横向两个角度表现出思维的品质，它们是一切思维品质的基础；数学思维的目的性决定着思考的方向，数学思维的灵活性和创新性也是根据思维的目的性在数学思维的深刻性和广阔性的基础上引伸出来的；数学思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的；数学思维的敏捷性是以思维的其它几个方面品质为必要前提的，同时它又是其它几个方面品质的具体表现。因此，要想区分这些思维品质中的哪些品质重要进而想给它们按重要性排队，是非常困难的，而且从教学的观点看也未必恰当。