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二、数学中的证明
（一）何为证明
数学证明是根据已被确定正确性的公理、定理、定义、公式、性质等数学命题来确定某一数学命题真实性的推理过程。
从逻辑结构来分析，任何证明都是由论题、论据、论证三部分组成。其中论题是指需要确定其真实性的那个命题，比如证明“平行四边形的两组对边分别相等”就是一个论题，任何论题都包含条件和结论两部分。论据是指被用来作为证明论题的理由、依据，包括给定的条件和证明论题真实性所引用的数据，以及公理、定理、定义、公式、性质等命题。论证即证明的过程，也就是进行一系列推理的过程。
（二）证明的规则
证明既要保证证明的准确与逻辑的合理性，又要使证明具有说服力，为此证明必须遵守如下的五条规则：
规则1：论题必须明确
论题是所要论证的对象，因此论题要清晰，不能让人产生歧义，如果论题本身含糊不清，就无法进行证明。比如“有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等”这个论题就是含糊不清的。论题中所说的角究竟是两相等边的夹角还是邻角并不确定，因此也就无从证明，这种错误叫“论题不清”。
规则2：论题应当始终如一
这就是说，在整个证明的过程中，论题应该始终保持如一，不得随意改变，否则就会出现“换题论证”的错误。比如证明四边形的内角和等于360°，如果采用正方形来代替一般四边形加以论证，这就是犯了“换题论证”的错误。
规则3：论据必须真实
论据是用来证明论题真实性依据，但如果论据本身就是虚假的，那么由此得出和论题的真实性就不成立，违反这条规则的逻辑错误叫“虚假论据”，在几何论证中，这种错误常常表现在，滥用不成立的命题作为论据，或者引用的定理与论题无关。
规则4：论据不能依靠论题来证明
论题的真实性是从论据的真实性而推出的，是依赖于论据来证明的。但如果论据的真实性反过来又要从论题的真实性而得出，那么结果什么也没有得出，违反这条规则的逻辑错误被称为“循环论证”。
规则5：论据必须能推出论题
每一个论证都是推理，证明过程必须运用有效的推理形式，因而论据必须是推出论题的充足理由，否则就会犯“推不出”的逻辑错误。
（三）常用的证明方法
根据题中给的已知条件和所要求证的结论不同，证明的方法也是多种多样的，因分类标准不同，证明方法的类别也不同。
1．按论题的命题形式来区分，有直接证法和间接证法
（1）直接证法
由命题的题设出发，根据一些已知的公理、定理等命题，通过若干次的推理，一直推到所要求的结论，像这样的证明方法叫直接证法，这是数学中最常用的证明方法。
（2）间接证法
对于有些命题，如果采用直接法，会使得证明的过程过于繁难，思考的过程也比较复杂，甚至利用的已证定理的所需条件并不充分，这时就采用间接法。间接法又分为反证法和同一证法。
①反证法：一个命题和它的逆否命题是等价的，因此，在证明某一命题时用直接法不易着手时，可以转而去求证它的逆否命题是真实的，这就等于证明原命题是成立的，这种证明的方法就叫做反证法。
反证法通常所采用的形式是，从结论的反面入手，假设结论的反面是真实的，那么由此引出的结论将与所给定的已知条件，或公理、定理等矛盾，说明假设是不成立的，因而结论是真实的。用反证法能简化证明的一个原因就在于，假设结论的反面是真实的，那么此时相当于多了一个已知条件，因此会使证明容易进行。
②同一法：如果一个命题符合同一原理，那么它的逆命题与它的真值性相同，因此，当一个命题不易直接证明，但它却符合同一原理时，就可以转而求证它的逆命题成立，即可得出原命题正确。
例 已知：在△ABC中， ，求证： 。
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证明：过D作DF∥BC交AC于F。那么 ，但已知
∴
∴
即
∴
∵ 和 都在 上，
∴和重合，从而 和 重合，
即 |
2．按论证的思维方式来分，有综合法和分析法
（1）综合法：在命题的推导过程中，综合法是从已知条件出发，逐步推理到要证明的结论，也就是由因导果。但是由于所导出的结论往往不唯一，所以就会出现很多的思路，而且选哪一条路子更合适，往往无从选择，只能逐一进行考虑，最终找到可行的证明途径。
（2）分析法：与综合法相反，用分析法在思考问题时，是从结论出发执果索因，追溯它能成立的条件，再就这些条件分别研究它成立又需要什么条件，直到所需条件都已知时，便找到了解题的通道了。
3．按论证的推理方法来区分，有完全归纳法、不完全归纳法、演绎法、数学归纳法
前三种方法在前面已经提到过了，所以这里对数学归纳法略作介绍原理，它适用于证明与自然数n有关的命题。这种方法的推导过程，一般是先用不完全归纳法从特殊的判断推广到一般的判断，然后根据归纳原理来证明这个一般判断。数学归纳法的证明通常采用以下的步骤：
①要证明命题对于自然数 时是成立的；
②假设当 时，命题是正确的，然后以此为依据，推导出当 时，命题也成立；
③得出结论，命题对于所有的自然数都是正确的。
需要注意的是，有些关于自然数的命题，并不是对所有的自然数都成立，而是对于大于或等于某一自然数 （ ）的所有自然数都真实，在用数学归纳法证明这样的命题时，要在第一步验证当 时，所证的命题是真实的。
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