三、数学思想方法的重要意义

    数学思想、方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是层出不穷的数学发现的源泉。美国著名数学教育家G·波利亚主张：“教会青年人去思考”，教给学生“有益的思考方式、应有的思维习惯”。日本数学教育家米山国藏曾说过：“学生在初中、高中接受的数学知识，出校门后不到一两年，很快就忘了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深的铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点（若培养了这方面的素质的话），却随时随地发生作用，使他们受益终生”，可见数学思想方法的重要性。
    数学思想方法是数学中的精髓，掌握了数学思想方法就学会了数学的思考方式与习惯，在学习生活中就会运用这种思维去分析问题、解决问题。因此，获得这种思维方式比获得数学结果本身更重要，就好比得到点石成金的手指比得到金子更有益！
    在《标准》的“基本理念”中明确指出：数学为其它科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学是人类的一种文化，它的内容、思想方法和语言是现代文明的重要组成部份。在“义务教育课程目标”中第一条就写到：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。
    因为数学本身是一门比较抽象的学科，重视运用演绎的形式化的方式展现数学结果，往往忽略了数学活动的过程，并隐去数学思想方法在解决数学问题中的核心作用。所以标准中要求教师在教授数学知识的过程当中，也要把数学思想方法融入进去，使得学生在获得数学结果的同时，能够收获更为宝贵的数学思想和方法。
    从数学发展史上看，长期以来，数学家们对自己所从事研究领域的思想方法是重视的，并有许多发明和创造。但是，对数学思想方法本身尤其是把它作为一个独立的领域或学问来进行研究，却是很不够的。究其原因，主要是对数学思想方法的意义缺乏应有的认识。

    一般地，数学思想方法对于中小学数学课程教学具有鲜明的意义：

    1．有利于提高数学素养、发展数学能力，促进中小学数学教育教学改革
    我们知道，数学教育的根本目的在于提高学生的数学素养、培养数学能力，即运用数学提出数学问题并加以分析和解决的本领，而这种能力和本领，不仅表现在对数学知识的记忆，而且也反映在数学思想方法的素养。事实上，我们说一个人数学能力强，有数学才能，并不简单指他记忆了多少数学知识，而主要是说他运用数学思想方法解决实际问题和创造数学理论的本领。伽罗华之所以创立群论，罗巴切夫斯基之所以创立非欧几何，维纳之所以创立控制论，不仅仅在于数学知识的积累与记忆，而主要是由于他们在数学思想方法上实行了革命性的变革所致。对一个科技工作者来说，需要记忆的数学知识可多可少，但掌握数学思想方法则是绝对必要的，因为后者是创造的源泉，发展的基础，也是高素质、高能力的集中体现。

    2．有利于充分发挥数学的功能，促进学生获得全面、健康和可持续达数学发展
    数学功能的发挥，同数学能力的培养一样，关键不在于知识的积累与传递，而在于思想方法、数学思维方式的领会、运用以及创造新的思想方法上面。实践越来越证明，数学在科学技术各领域、社会科学各部门以及生产、生活的各行各业，都有广泛的应用。这是因为，任何事物都是量与质的统一体，要想真正的认识某一事物，不仅要把握其质的规定性，而且还要了解其量的规定性，因此，数学能够应用于各种物质运动形态。马克思曾指出：一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正发展了。那么怎样在各方面更加广泛地应用数学呢？我们认为，加强数学教育，特别是加强数学思想方法的教育，是至关重要的。数学的科学功能的发挥，主要是靠数学思想方法、数学思维方式向科学各领域的渗透与移植，把数学作为一种工具加以运用，从而促进其发展。当代科学数学化的趋势明显地反映出这一点。数学的思维功能的发挥也是如此。我们说数学是一种思维工具，实质上就是指它的思想方法。为什么往往通过数学的考核来判定一个儿童的思维能力与智力水平呢？其根据也在这里。至于数学的社会功能的发挥，同样还是靠数学思想方法的运用。我们说某人办事有数学头脑，无非是说他能灵活地运用数学思想方法。欧拉作为一位数学家，之所以不仅在代数、数论、微积分等数学分支研究上取得了突出成果，而且还在力学、物理学、天文学、航海、造船、建筑等许多非数学领域与部门做出重大贡献，集中到一点就是他具有深刻的数学思想和非凡的运用数学解决实际问题的才能。这也是他之所以能成为数学史上著名应用数学大师的根本原因所在。

    3．有利于深刻认识数学本质，全面把握数学的发展规律
    在数学思想方法的学习与研究中，我们可以通过对数学内容辩证性质的探讨，进一步认识数学的本质。马克思和恩格斯在自己的著作中，都对微积分内容的辩证性质作过精辟的分析，并从而概括其本质。马克思在《数学手稿》中，着重对导函数概念作了探讨。他认为，导函数生成的过程就是原函数经历了“否定之否定”的发展过程，并深刻指出：“理解微积分运算时的全部困难(正如理解否定的否定本身时那样)，恰恰在于要看到微积分运算是怎样区别于这样简单手续并因此导出实际结果的。”恩格斯在谈到微积分的本质时，也曾经明确指出：“变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用”。事实上，微积分中所运用的思想方法，实质上就是辩证法。就拿微积分中最基本的牛顿—莱布尼茨公式来说，就是通过常量与变量的相互转化而推得的。本来作为曲边梯形面积的定积分是一个确定的常量，但为了推导牛顿—莱布尼茨公式，却特地把此定积分看作是上限函数，即把常量转化为变量。然后，在证明一个定理成立的基础上，又反过来把变量转化为常量，最终得到了这一公式。因此，我们可以说，牛顿—莱布尼茨公式就是常量与变量辩证统一的结果。
    总之，数学思想方法的的学习与研究，具有十分重要而深远的意义，尤其对于深化中小学数学课程、教学研究具有重要的促进作用。