第三节 公理化及其价值

    现代数学的多数分支的建构是受到公理化思想影响的，或者是按照公理化思想完成的。因此，公理化作为推动数学发展的重要数学思想方法，有助于反映数学对科学发展、社会发展和人类思想发展的作用，有助于学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。
    数学是人类社会进步的产物，是推动社会发展的动力，也是人类文化的重要组成部分。通过数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。
    学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；就能够提高学习数学的兴趣。

    一、公理化

    公理化便是数学文化重要的一部分。欧几里得《几何原本》是成功运用公理化方法的典范。继欧几里得《几何原本》之后，公理化方法广泛运用于自然科学、社会科学领域。例如，牛顿的经典力学体系就是用公理化方法建构的，马克思的《资本论》、杰弗逊的《独立宣言》等也受到了公理化方法的影响。计算机是数学思想的产物，计算机技术的发展与数学的发展密不可分，计算机技术为数学的应用提供了新的研究工具和研究方法，大大拓宽了数学的应用领域。计算机在数学研究中的作用日益显现。计算机在自动推理领域和数学证明中的运用就是例证。
    公理化方法从五个公设和九条公理出发，运用演绎方法将当时所知道的几何学知识全部推导出来。这是一个十分伟大的成就。它的意义不仅限于数学，而成为展示人类智慧和认识能力的一个光辉典范。《几何原本》的公理按现代观点来看是不够严格的。希尔伯特在1899年出版的《几何基础》将它完全地严格化，也就是做到公理系的三性：
    1．独立性，即各条公理相互独立，不能由一条推出另外一条。
    2．无矛盾性，即各条公理之间没有矛盾，从一条公理推出的结果不能与另一条公理矛盾。
    3．完备性，即通过它能推导出该学科已有的全部重要命题，不能随便省略公理。
    这种对某门学科进行公理化的方法，是人们追求的目标。理论力学、牛顿力学、量子力学都有公理化的工作出现。至于数学领域内，几何学公理，算术公理和集合论公理是研究最深刻的。
    几何公理由于对第五公设的研究出现了非欧几何，使公理方法大放异彩，成为人类理想的一大胜利。
    算术公理业已成功地建立。但是歌德尔证明算术公理系统不是完备的，这给人们以很大的打击。这意味着，在算术系统中，存在一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明。
    集合论公理的研究，涉及数学基础。为了排除集合论悖论，Zelmero，Frankel先后建立公理来排除悖论，即现称ZF公理系统。围绕选择公理是否成立，展开了新一轮研究。结果是ZF公理系和选择公理互相独立又不矛盾，正如平行公理与绝对几何公理系一样。这表明，整个数学的基础并非绝对稳固。
    这些为整个学科，甚至整个数学提供基础的公理化运动，现在已经冷落下来了，这主要是因为困难。例如还没有出现微积分公理，微分几何公理，整个代数学的公理等等。因为还没有出现很恰如其分的概括，也许这也没有很大的必要。
    公理化思想有两个基本特征：第一，它强调严密的逻辑性，分析推理过程必须符合形式逻辑；第二，它通过逐层的演绎过程，把作为推理出发点的、尽可能少且不能再由别的命题来证明的命题作为本体系的公理。