二、公理化的意义与价值

    公理化的意义表现在三个方面：首先，它把数学带入了严密阶段。数学的严密性是通过各个分支的公理化来完成的。数学的许多分支都用公理方法建立它们的体系，数学分支只有用公理方法叙述之后，它才被人们完全接受。
    其次，它把逻辑的严密赋予了某些自然科学领域。除了数学以外，物理学比其他经验科学有更好的理论严密传统，许多物理理论均是公理体系。
    最后，公理化体现了人类认识的主观能动性。在一定的条件下，人们在实践的基础上能得到超越当时实际的理论，并在这理论的指导下去进一步认识和改造世界。
    公理化思想的教育价值体现在两个方面：第一，对它的学习与掌握，有利于学生严密、精细思维方式的形成。第二，它使数学形成后述还原思想、结构思想和模型思想成为可能。因为还原必须以公理化的逻辑推理为方法，而数学知识的结构往往实际上就是某种逻辑结构，此外数学模型又必须通过公理体系获得可信性及各模型之间的通约性。因此，公理化思想能帮助教师和学生实现对数学知识教与学的条理化和简化。布鲁纳指出：“为迁移而教”，又指出死知识并没有什么迁移价值，“概念和原理才有迁移价值”，——数学的公理体系就是这种概念和原理。
    值得注意的是，长期受传统“整体模糊直观”思维方式影响的中国人公理化思想缺乏，——中国传统数学往往重实用的计算，没有形成抽象的符号、原理、逻辑（中国也没有发育出完整的、严密的逻辑学）、公式，更没有形成公理化数学体系。因此，对中国的教师与学生来说，更应重视数学公理化的基本思想及其运用。
    在中小学数学教学中，我们看到了一种扩大了的几何公理系统，它是不严格的。但是公理化作为一种思想方法有很重要的教育价值。公理化方法是中小学数学的逻辑基础。
    对于原始概念，先行的中小学教材是没有明确提出来的，而是作为“公理”出现，即作为公认的事物出现。比如“点”，“线”，“面”，“相交”。还有一些定义的概念，也作为原始概念来看待，例如“用直尺把两点连结起来，就得到一条线段”，“线段向一方无限延伸就形成射线”，“线段向两方无限延伸，就形成直线”，这些都是直观描述而不是定义。
    中小学数学中在处理公理问题上是采取扩大公理的办法，把一些原来在严格公理系统中可以证明的命题，也明确作为公理，在学生确信的基础上作为推理论证其他命题的依据。按照大纲规定，把“两点确定一条直线”；“两点间线段最短”；“垂线的唯一性”；“点到线段的垂直线段最短”；“同位角相等，则两直线平行”；“三角形全等的三个判定”等作为公理，在公理这个术语出现之前叫做“基本性质”。这样处理虽然影响了公理的独立性的要求，按时从教学角度来说，对于开始学习几何的学生，不至于在开始学习就遇到困难。而且通过这样的学习，使学生基本能体会到公理化的方法。因而，在中小学数学教学中，适当渗透公理化方法及其对数学发展的作用，对于增进学生对数学的理解具有重要作用。
    值得指出的是，高中数学《课程标准》在推理与证明部分设计了数学文化的内容，要求学生通过欧几里得《几何原本》、牛顿力学体系等实例，体会公理化思想，初步了解计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。