四、数学模型与数学建模

    （一）数学模型

    数学模型是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个对问题近似刻画的数学结构，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
    广义地说，一切数学都是数学模型。可以说，有了数学并要用数学去解决实际问题就一定要用数学思想、语言、方法和知识去近似地刻画该实际问题，而这种刻画的数学表达就是一个数学模型。实数系是时间的模型，几何学是现实空间的模型。一切数学概念和知识都来源于现实，当然都是数学模型。但是我们这里要谈的是研究特定问题、构造特定模型的一种数学方法。
    就一个问题而论，现实世界的事物可分为三个部分：第一部分，影响微小的事物；第二部分，可以影响问题，但并非我们的主要研究对象；第三部分，问题的主要研究对象。数学模型往往不考虑第一部分的那些量，把第二部分的量看作局外变量（参数，输入或自变量），然后把第三部分的事物看作局内变量。
    在中小学数学中，数学模型比比皆是，按其功能可分为两类：
    1．概念型，指将客观事物或现象直接抽象成数学概念。如自然数，奇数，整式，代数式和空间等。
    2．方法型，指将客观事物或现象间的关系抽象成数学中的公式，运算法则等。
    概念型和方法型数学模型的建立，一般都需要借助于数学符号。譬如，自然数集“N”，加法符号“+”，映射“”等。
    这里我们举一个用方程方法构造数学模型来解决实际问题的例子：上海某饭店各个房间的室内温度由控制室统一调整。一位施工师傅来查出原因，是因为从高层房间到控制室的距离很长,三相线的三根电线。因转弯处折转不同，有长有短，而造成三根电线的电阻不同，结果仪表上就出现了偏差。那么如何来测量这三根线的电阻呢？任何万用表都不能把一头放在十几层楼房间里的d处，另一头放在底楼控制室的a处，这该怎么办？
    一位学过代数的青年师傅想出了方法。他假设a，y，z分别是ad，be和cf的电阻（如图5-2-1），这是三个未知量，电表不能直接测量出这三个数。然而可以把d和e连接起来，在a和b处量得电阻x+y为l，然后将e和f连接起来，在b和c出量得y+z为m，同理，连接d和f，可量得x+z为n。这样得到三个变元的联立方程式：
于是解出x，y，z，仪表就调整好了。
    进一步，如将此问题改为文字应用题：“如果我们可以量得ad和be两线串联后的电阻为l，be和cf串联后为m，cf和ad串联后为n，试问三线的电阻是多少？”那么只需将文字语言翻译成方程语言，问题便容易解决，也就不稀奇了。这位青年师傅的可贵之处在于他创设问题情景（把电线两两连接再量），构造数学模型（三个未知数需要列出三个方程形成联立方程组）。学习方程，难就难在用方程的“观点”去分析问题，用数学思想构造模型，而不在解方程。如果我们的数学教学只让学生去解几十道甚至上百道方程题，却不教学生去经历用方程观念构造模型的过程，至少说在教学上我们还存在着一个很大的缺陷。

    （二）数学建模的内涵

    数学建模是从现实问题中建立数学模型，再利用数学思想，方法和知识进行模型求解，以解决实际问题的过程。数学建模的对象来自日常生活、经济、工程、物理、化学、生物等领域中的应用问题。
    数学建模活动具有鲜明的主体性、开放性、注重学生的参与性、注重过程性、时间性等特点。

    （三）数学建模活动的类型

    1．结合正常课堂教学，在部分环节上“切入”数学建模内容；
    2．开展以数学应用和数学建模为主题的课外活动；
    3．开设数学建模专题活动。
    一般地，数学建模具有如下基本过程：

（四）数学建模的意义与活动要求

     数学建模是数学学习的一种新方式，他为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。
    数学建模活动的要求:
    1．在数学建模中，问题是关键。数学建模的问题应是多样的，来源应广泛。同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法应与数学课程内容相联系。
    2．通过数学建模，学生将了解和体会解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的使用价值，增强应用意识，提高实践能力。
    3．每个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。
    4．学生应学会通过查询资料等手段获取信息。
    5．学生在活动中应采用合作学习的方式解决问题，养成与人交流的习惯。
    6．强调计算工具的使用。这里不仅指在计算过程中使用计算工具，而且指在猜想、争辩、探索、发现、模拟、证明、作图、检验中使用计算工具。