二、世界各国中小学数学课程改革发展的共同趋势

    从20世纪80年代末开始，世界各主要发达国家纷纷对数学教育的发展历程进行全面的总结，相继提出了一系列数学教育发展纲要和数学课程改革的蓝图。分析各国的数学教育改革的历程，我们可以总结国际数学课程改革的特点。

    1．数学课程目标的改革

    课程目标是对某一阶段学生所应达到的规格提出的要求。课程目标的确定不仅与数学有关，而且与社会文化、学生发展的需要、科学技术发展的水平以及哲学观念等有着密切的联系。20世纪80年代以来，许多国家和地区的数学课程目标都发生了很大变化(见附表一)。分析比较美国、英国、澳大利亚、新加坡、香港、日本、韩国、台湾等国家和地区的数学课程标准（纲要），可以看出不同国家和地区的数学课程目标有各自的取向，在促进社会进行、适应学生发展、以及反映数学科学进展等方面各有侧重。有学者将这些数学课程的目标分为三类：第一是实用知识；第二是学科知识；第三是文化素养。
    实用的目的包括：以数学方式解决日常生活中遇到的问题；提供将来大部分职业所需要的数学训练；为将来升读理科及有关学科所需的数学奠定基础。
    学科的目的包括：数、符号及其他数学对象的运算能力；数感、符号感、空间感及结构与规律的意识；推理逻辑思维；数学构造与解决问题的能力；以数学方式表达及交流。
    文化的目的包括：欣赏数学之美；认识古今数学在各地文化中的角色及与其他学科的关系。
    这些目标在表述上虽然存在一些差异，但从中也反映出一些共同的特点。一是数学课程目标更加关注人的发展，关注学生数学素养的提高。二是数学课程目标面向全体学生，从精英转向大众。三是数学课程目标关注学生的个别差异，而不是统一的模式。四是数学课程目标更加注重联系现实生活与社会。具体表现以下几个方面。

    （1）注重问题解决
    重视问题解决是各国数学课程目标的一个显著的特点。美国课程标准把“有解决现实数学问题的能力”列为数学要达到的五个课程目标之一，在其分项标准中，“作为问题解决的数学”居于首位，开放型问题的提出、表述及其解决策略都是美国课程标准极力加强的内容。台湾提出的数学课程理念之一是“数学课程强调数学解决问题活动”。对此有两个具体要求：一是数学解决问题的方式是先将问题变成可以用数或图形呈现的形态，做出一些个案，然后以归纳的方式，或演绎的方式，把个案的解法形成一个数学模式。这样的解决问题历程，在数学课程内应一再的出现，使儿童耳濡目染，在不知不觉中学到。二是当学生在数学课程内，习惯于面对非常规问题，进行解题活动时，他就养成了主动思考的习惯。在学生将来步入社会时这种能力会帮助他调整适应，使他成为现代化社会的优良公民。英国的课程标准中，旨在让学生学会解决问题的内容占有十分重要的地位。荷兰数学课程的一个突出特点是重视问题解决。韩国的数学课程重视吸收当代国际数学教育研究的新成果，重视数学应用，提倡数学问题解决，引入开放性问题(实际问题、非常规问题等)。把问题解决作为数学课程的重要内容。
    当今世界正在迈向信息化社会，信息的传递异常迅速，人们必须随时根据变化了的情况进行决策，做出选择。数学教育的目标并不仅仅是为了让学生学到一些数学知识，更重要的是要让学生在这个充满疑问、有时连问题和答案都不确定的世界中学会求得生存的本领，能够把数学应用于现实世界、解决实际的问题。

    （2）注重数学应用
    注重数学应用是各国数学课程目标的一个突出的特点。英国数学课程十分重视培养学生数学应用的能力，强调数学教学要与实际应用紧密联系，认为教师需要帮助学生理解如何应用所学的概念与技能，如何利用它们去解决问题，并形成系统化的体系。在数学课程中，数学应用是首要和基本的目标，这一目标伸延与渗透到其余教学目标中，并构成数学教学基本框架。这一目标的具体要求如下：通过处理问题以及运用物质材料获得数学知识和技能，并提高理解能力；应用数学解决各种现实问题，以及从中小学课程的其他科目中提出的数学问题；对数学本身进行探索，引导学生投身于活动，在此过程中使用和应用数学。这些丰富的数学学习活动是数学教学的核心。
    美国的课程标准中贯穿着一个始终不变的主线，即为学习和应用数学。
    日本文部省1998年公布并将于2002年实施的《中小学数学学习指导要领》中确定的数学教学目标是：“通过与数量和图形有关的数学活动，掌握基础知识和技能，在培养学生全面地、有条理地思考日常生活事物的能力的同时，体会数学活动有愉快性和处理数据的优越性，培养学生在生活中有效地运用数学的态度”。也将数学与现实生活的联系，运用数学的态度作为数学课程的重要目标。
    数学具有抽象性，同时数学也具有广泛的应用性。让学生了解数学的应用，会运用数学的知识与方法解决现实的问题，是使学生建立学习数学的动机，了解数学价值的一个重要方面。为此，许多国家和地区的课程标准中都将数学的应用作为重要的目标之一。

    （3）注重数学交流
    在数学教育中，交流的重要性长期以来一直没有受到应有的重视，更没有被作为一个重要的课程目标。随着时代的发展，各国都逐渐意识到，数学在当今各学科中的用途急剧增加的一个重要原因即为数学能简明的表达和交流思想。而且，从学生数学学习的角度讲，交流可以帮助学生在非正式的直觉的观念与抽象的数学语言符号之间建立起联系，还可以帮助学生把实物的、图画的、符号的、口号的以及心智描绘的数学概念联系起来。交流还可以发展和深化学生对数学的理解，因为解释、推断和对自己思想进行口头和书面的表达可以使学生加深对概念和原理的理解。美国NCTM数学课程标准中要求学生“学会数学交流，会读数学、写数学和讨论数学”。数学的工具作用不仅表现在运用数学解决问题，同时也是人们进行交流、表达自己对某些问题认识的工具。应当在学习的过程中给学生交流的机会，提供具体的情境让学生去表达、倾听、提出自己的想法。英国科克罗夫特(Cockcroft)报告提出“数学教学的基本目的是‘数学可用来作为一种传递信息——表示、解释和预测信息的强有力的手段’ 。数学可用作交流信息的有力手段这一事实，正是它提供了对所有儿童要教数学的主要理由。荷兰数学课程中，小学的一般性目标要求学生“获得基本的技能，懂得基本的技能，懂得简单的数学语言，并能应用于实际情形”；中学数学课程的一般性目标中有一点是“通过交流发展数学鉴赏能力”。
    从各国的数学课程标准看，数学交流大体包括这样三个方面：第一，数学思想的表达，把自己的信息以某种形式(直观的或非直观的、口头的或书面的、普通语言或数学语言)表达出来；第二，数学思想的接受，以某种方式(听、读、看等)接受来自他人的思想；第三，数学思想载体的转换。把数学思想由一种表达方式转换成另一种表达方式。

    （4）注重数学思想方法
    世界各国都已经认识到，在当今和未来社会的许多行业，直接用到学校数学知识的机会并不太多，而且也不是固定不变的，更多的是受到数学思想的熏陶与启迪，以此去解决所面临的实际问题。
    目前，在处理中小学数学思想方法上有两种基本的思路：第一，主要通过纯数学知识的学习，逐步使学生掌握数学的思想和方法，特别是一些具体的、技巧性较强的方法，如换元法、因式分解法、公式法等；第二，通过解决实际问题使学生在掌握所要求的数学内容的同时，形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法，如试验、猜测、模型化、合情推理、系统分析等。这两类思想方法的取向有所不同，前者倾向于技术方面的，更多的是帮助学生学习解决具体问题的技巧，后者更多的是一般的思考方法，具有更广的应用性。主要发达国家倾向于第二种方法。

    （5）注重培养学生的态度、情感与自信心
    态度、情感与自信心作为数学教育的目标之一，在学生的数学学习中起着非常重要的作用。以往的精英教育模式把数学作为一个筛子，更多的是起到选择与淘汰的作用，其结果导致一代一代的年轻人对数学没有兴趣，在数学面前自信心受到极大的伤害。很多人以一种被淘汰者的心态走向社会，并会影响他们一生的发展。目前，世界上许多国家都把培养学生的态度、情感与自信心作为数学教育的一个目标，以此促进学生运用数学解决实际问题的动力与能力。例如美国NCTM数学课程标准中提出数学教育应该培养有数学素养的公民，具体提出五项目标：其中之一是“对自己的数学能力有自信心”；英国Cockcroft报告强调“让学生成功地发展他们学习数学的自信心。”
    只有培养学生对于数学的自信心，才有可能使学生从自身的生活背景中发现数学，创造数学，运用数学，并在一系列过程中获得自信。

    2．数学课程内容的改革

    课程目标是课程内容选择的依据之一，伴随着数学课程目标的更新，各国数学课程内容也发生了变革。分析不同国家和地区的数学课程标准，可以得出一些共同的特点：

    第一，数学课程内容的设计考虑全体学生的需要，使数学课程为学生的发展和成为未来的合格公民服务。过去各国的数学教育都有一种倾向，即只面向成绩好的学生，忽视了适应不同程度学生的需要，特别是学习困难的学生的需要。而实际上，学生是有不同的天分、不同的爱好、不同的需要的，不可能人人一样。随着时代的发展，世界各国都意识到数学与现代社会的发展息息相关，它作为公民必备的一种素养，作为促进学生发展的一个重要的组成部分，作为社会其他领域发展的一个重要的工具，发挥着不可替代的作用。因此，各国都愈加重视数学的地位，强调“为所有人的数学而不是为少数人的数学”。
    从学生发展的角度说，数学是促进学生思维发展的重要途径。而作为一个公民，掌握一定的数学知识和技能是必须的。数学成为公民素养的一个重要的组成部分。也可以说，不具备一定的数学知识和技能，就不能成为合格的公民，不能很好地适应社会的发展对人的素质的需求。特别是科学技术飞速发展的今天，有更多的领域需要数学的知识和技能。离开数学人们几乎寸步难行。正因为这样，各国在选择课程内容时，都更加重视学生数学素养的培养和终身学习的条件。比如，会通过适当运算把实际问题归结为数学问题；懂得多种解决问题的方法、能和他人合作解决问题、相信数学的价值与用途、掌握猜测与推理的手段和方法、会进行探索、创造等，以更好的适应未来社会的发展。

    第二，数学课程内容范围应有所扩展，选择更多的与学生生活密切联系的内容。要使学生在学习过程中体会到数学的价值，就应适当选择学生熟悉的、与他们的生活密切相关的内容。学生会在探索这些现实的情况和问题中认识数学，了解数学的价值，运用数学知识与方法解决问题。美国的学校数学课程强调让学生面对具体的情境”做”数学，认为，人们是在一些具有目的的活动中收集、发现和创造知识的，这个活动过程不同于掌握概念和程序。我们不能断言信息性的知识没有价值，其价值取决于在有目的的活动之中的有用程度。教学中应该反复强调，“做”比“知道”更为重要。英国的Cockcroft报告中认为小学数学课程内容应当拓展，应当丰富儿童的审美和语言体验，提供给他们探索周围环境的手段和发展他们的逻辑思维的能力，还要使他们具备数值技能。

    第三，数学课程内容的选择符合现代社会的需要，让学生学习现代社会所必需的、有用的数学。数学的应用性决定学习的内容必须是“有用”的。没有用的数学，即使人人都能够接受，也不应该进入课堂。由于数学的抽象特征，使其应用的范围十分广泛。特别是现代科学技术飞速发展的今天，数学的应用越来越广。不仅在自然科学中得到广泛的应用，而且在许多社会科学领域也越来越多地用到数学的原理和方法。随着计算机技术的发展，数学的应用会更加广泛。因此，各国在选择课程内容时，都考虑现代社会各个领域所必需的、有用的数学。这也是大众数学追求的理念之一——“人人学习有用的数学”。这就意味着数学教育应该让学生学习那些既是未来社会所必需的，又是个体发展所必需的，既对学生走向社会适应未来生活有帮助，又对学生的智力训练有价值的数学。但究竟何为“必需、有用”，则是一个价值判断的过程。

    第四，考虑数学学科本身的发展，将现代数学中新的内容和新的技术引入数学课程之中。作为教育内容的数学，有着自身的特点与规律。尽管它的基本的出发点是促进社会和学生的发展，但不应忽视学科自身的发展。随着信息时代的来临，原有课程内容体系的滞后性明显的显现出来。因此，各国都及时的将现代数学中新的内容引入到数学课程中。另外，科学技术的发展，计算机和计数器等新技术的广泛应用，也带来了数学学科的革命。新技术的使用，不只是使计算和作图变得容易，也改变着对于什么是重要的数学问题以及该用什么方法去解决这些问题的看法。可以说，计算机和计数器的普及和推广，对数学的发展产生了巨大的影响。充分考虑计算机和计算器在中小学数学教育的作用，是当前数学教育改革不可回避的问题。许多国家的课程改革文件中，都对这一问题有明确的阐述。计算机和计算器的出现，使人们重新认识计算在中小学数学教育中的地位和作用。把用计算器计算作为数学体系中的一个重要部分，让学生遇到具体问题时从整个数学体系之中考虑和认识计算的问题。

    3．数学教学与评价的改革

    随着课程目标与课程内容的改革，各国数学教学与评价也相继进行了改革。

    (1)数学教学改革的特点
    各国在改革数学课程目标与内容的同时，也提出与之相适应的数学教学改革的建议，并在课堂教学改革中进行探索。主要特点表现在以下几个方面。

    一是强调学生在教学过程中的主动参与，教师在教学的过程中，更多的是充当学生学习活动的促进者，学习环境的营造者。台湾课程改革的一个基本理念是强调以学生为本位来加以安排，认为只有在学童主动参与教学活动下，学习才会发生。这一方面有二个具体要求。第一，有意义的学习一定要将数学内容放在对学生有意义且有趣的情境中，让学生由他对问题的自然想法开始，逐步联结到形式的数学知识。第二，在处理学生个别差异时，要注意到使教学活动有弹性，采用多样性的评价方式，并且要容纳不同学生在达成同一学习目标的时间差；另外，当学童采用不同策略来解题时，老师都应该加以肯定与鼓励，如此未来社会的多元化发展才有可能。日本、英国、美国教学中提倡学生在活动中“做数学”，都是以学生为主体而实现的。

    二是充分注重学生的个别差异。英国、韩国和日本数学教学与评价的一个显著的特点。英国不少数学教育家的研究表明，儿童对于概念的理解存在着明显的差异，这是实行区别化教育的主要理论依据。并且，在多年的实践中积累了丰富的、有创造性的经验，在英国中小学数学课程大纲、教材和教学方法等方面有明显的反映。例如，国家课程的水平区别化；第6年级数学课程的分流并实行必修加选修的结构，设计广泛的弹性课程；教材的多样性以及教学进度的灵活性等。在教学活动的组织上，同一年龄段的学生按照其能力水平不同分班教学，即使同一个班级，数学课也常常创造各种条件使学生按照各自的进度安排学习活动。
    提倡选择性学习是日本数学课程的一个大的特色。新学习指导纲要增加了选修课课时，使课程具有较大的弹性，适合不同学生的需要。学习纲要认为，数学课程要安排多种可供学生选择的数学活动。探究数学的某个内容或者专题；有关数学的实际活动；应用数学的活动；数学史的有关专题等，都可以是选择学习的课题。学习的程度也应有一定的弹性，学生的选择学习中可以有不同的程度，如：补习、补充、发展、深化，使不同发展水平的学生都有收益，有利于学生的个别差异。
    韩国提出的差别化数学教育课程也充分体现了教学过程中的区别化。差别化课程实施的目的是提高每个学生的能力、才能与兴趣。将基础教育时期分为两段：第一段是国家共同基础教育时期(从一年级到十年级，共10年，相当于中国小学一年级至高中一年级)，要求所有的学生必须学习相同的必修课程，但每门必修科目的内容深广度依学生能力而异。第二段为选择教育时期(从十一年级到十二年级，共2年，相当于中国高中二年级到三年级)，这一段可以学习不同的有层次的课程内容，建立有区别的数学课程体系。
    台湾的数学课程也强调数学教学应依学生个别差异，设计教学活动，鼓励学生主动参与，培养完整的学习成就感，并启发其学习与研究数学的兴趣。

    三是注重让学生在多样的学习活动中体验数学。
    日本新数学课程的理念之一即为：提倡以学生为主体的数学学习活动。学习纲要认为，活动是儿童的天性，要让他们积极地投入到活动中学习数学是很重要的。学习纲要提供大量学生主体性活动的指导：户外活动；制作活动；利用实物探索数量和图形的意义的活动；调查活动；应用活动；综合知识的活动；探究活动；提出新问题的活动等。另外，日本提倡综合学习，这是日本数学课程注重过程和自主性的表现。综合性学习也称为课题学习，它通过学生综合数学知识或者数学知识与其他知识的综合来解决一个研究课题。在数学课程中设置综合学习的目的是多方面的：学生综合地运用各课的知识和技能，养成综合解决问题能力；培养自己发现问题的意识；培养自己思考判断能力、掌握信息的收集、调查、总结的方法；培养以问题解决、探究活动为主的创造能力。
    台湾教学方法也体现了注重过程、注重活动的特点。其一，协助学生体验并仿效由生活情境中抽出数学问题的过程，进而养成学生能从数学观点考察周围事物的习惯，提高学生应用数学的能力。其二，数学教学特别注重形与数的联系，让学生在实测与直观中，获得数、形的观念。并逐步对其过度抽像化，进而体会数学模式的结构。其三，教学方法需依各个单元的性质，分别采用实测、实验、作图、讨论、问答、具体操作等方法，并善予诱导。其四，单元教学活动，以讲演式与启发式相辅而行，采用三段式(准备活动、发展活动与综合活动)教学进行。其五，教学过程透过引导与启发，使学生能在问题情境中，形成解决问题所需的数学概念、过程、技能和科学态度。教师应避免过早提出解题方式及结论，且不宜作机械式的解题训练。其六，数学教学应依学生个别差异，设计教学活动，鼓励学生主动参与，培养完整的学习成就感，并启发其学习与研究数学的兴趣。其七，数学教学应帮助学生了解数学解题的过程方法，运用思考，避免强调零碎知识的背诵或记忆。
    英国的国家课程中的数学除了明确成绩外，在学习大纲中规定了学生应从事的活动。新的SMP、《世纪数学》等教材都突出了学习过程，注重学生的数学活动，特别是探究活动。在教学活动的组织上，教师可以使用以课题覆盖大纲的策略，即教师以教学目标的某一项及学习大纲的某个水平为出发点，组织学生学习活动，这类活动针对性强，内容集中，便于教学组织，能使较多学生达到某个水平的学习要求。

    四是注重计算器与计算机等先进技术的应用。计算机和计算器已经使数学世界发生了根本的变化。他们不仅影响什么数学是重要的，而且决定了该怎么做数学。这种深刻的变化迫切要求学校数学的内容和教学形式作根本的调整。世界各国都注重在数学教学中，通过运用计算器和计算机等先进技术，为数学教学提供一种新颖的学习环境，使数学思想形像化，使学生亲历数学知识的形成以及建立模型、探索规律的过程；把教师从单一的教学任务中解放出来，运用丰富的形式呈现教学内容，与学生一起探索各种猜想。如，美国2000年标准最大的特点即是强调科学技术在数学课程中的重要地位，强调科学技术与数学教学过程相结合，并提供大量的形像化电子版中的数学例子，使得教师懂得怎样在教学实践中去运用信息科技。英国国家数学课程文件中，从水平4开始几乎每个成绩目标都提到了使用计算器与计算机。在各种教材中也有明显的体现。每个教室都配有足够的计算器，上课时发给学生使用。

    (2)数学评价改革的特点
    评价的改革一直是人们最关心的问题。伴随着数学课程与教学的改革，必然要进行评价的改革。在各国的数学课程改革中，评价表现出以下几个主要特征。

    一是评价主体的多元性。评价不只由教师和学校进行，而且也可以由学生进行自我评价。英国的教学评价一方面注重教师的评价，即不光是看考试的分数，而是教师在日常教学过程中对学生考察了解、鼓励学生所取得的进步。另一方面，还有阶段末的国家统一考试。同时也注重在学习过程中学生的自我评价。

    二是评价内容的多元化与开放性。在数学教学评价的过程中，一些国家设计多元化的和开放式的问题，通过这样的问题可以从多个维度了解学生数学发展情况。例如，澳大利亚凯斯里克大学(Catholic)的克拉克(Clarke, D.)博士克拉克博士的一项研究“开发和运用丰富的评价活动”具体地展示了一种有意义的可操作的评价学生数学成就的方法。这种方法与传统的纸笔测验的评价方式截然不同。问题的性质、评价方式以及对评价的操作都不同于传统的方式。这种评价方式更加关注学生的数学发展和在数学学习过程中特殊的表现。学生可以在完成一项具体的任务中表现出对数学的兴趣、数学的知识与技能以及思维能力和创造能力等。从学生完成某一项特定任务的表现中，教师和学生可以对参与者的表现做出多方面的判断。这一评价方式的核心是选择和运用具有评价特征的数学活动(TASK)。这些活动与学生的生活或现实生活有密切的联系，是学生感兴趣和愿意参加的，并不只是单纯地指向评价这一任务的。学生可通过这些评价活动在多方面受益。

    三是评价方式的多样性。评价方式的多样性成为许多国家和地区数学教学评价的一个基本策略。如，台湾的评价方法中要求：教学评价方式宜多样化，除纸笔测验，应配合单元目标采用实测、讨论、口头回答、观察、作业或专题研究等方法；在教学过程中，须随时采用各种方法评价学生的学习状况，以便及时发现学习困难，进行补救教学；段考或平常测验命题时，其范围或内容须顾及教学目标内容。试题难度应符合学生程度，以提升学习兴趣；除选择题与填充题外之其他题型，均宜订定分段给分标准，依其作答过程的适切性，给予部分分数。这些方法都充分的体现了以学生为主体，注重过程、注重活动的思想。