三、初中空间与图形课程内容的特点

    （一）结构特点

    《课程标准》改变了以欧几里德几何《原本》中的公理体系为主线、按照知识的逻辑线索呈现几何内容的处理方式，以“图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形与证明”为四条线索将空间与图形内容自然展开，遵循学生的认知特点螺旋式上升，逐学段层层推进，整个内容围绕图形而展开，以培养空间观念、几何直觉、推理能力，以及更好地认识与把握我们生存的现实空间为目标，使学生既理解和掌握一些必要的几何事实，又经历和体验几何活动的探索、交流过程，形成空间与图形学习的积极情感和态度。《课程标准》提倡以“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展、反思”的基本模式展现空间与图形内容，让学生经历“数学化”和“再创造”的过程。这与以往的几何教材主要采取“公理、定义—定理、性质—例题—习题”的结构形式，有较大区别。

    （二）内容体系

    初中空间与图形的课程内容主要包括：直线形、圆的基本性质及其相互关系，平移、旋转、轴对称、相似、投影的基本性质，运用坐标确定物体位置的方法；从若干“基本事实”出发，通过演绎推理，证明图形的性质。
    期望学生通过学习，能够丰富对空间与图形的认识，进一步发展空间观念、直观能力和推理能力。
    就具体内容而言，主要包括几部分内容：
    1．角：强调通过丰富的实例，进一步认识点、线、面；通过丰富的实例，进一步认识角；增加“能估计一个角的大小”的要求。
    2．相交线与平行线：了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。了解线段垂直平分线及其性质。知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。
    3．三角形：了解三角形有关概念，会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。强调探索并掌握三角形中位线的性质。理解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件；了解等边三角形的概念（并探索）其性质。了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件。体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
    4．四边形：探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件。探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件。探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件。
    5．圆：了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。会过圆上一点画圆的切线。
    6．尺规作图：完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。利用基本作图作三角形。探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。
    7．视图与投影：会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），┅。通过实例了解中心投影和平行投影。
    8．图形的轴对称：通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。能够按要求做出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。《课程标准》增加的内容：探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。
    9．图形的旋转：了解平行四边形、圆是中心对称图形。能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。欣赏旋转在现实生活中的应用。灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
    10．图形的相似：了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。理解两个三角形相似的概念（对应角相等、对应边成比例的两个三角形称为相似三角形），探索并掌握两个三角形相似的条件。能够利用位似将一个图形放大或缩小。通过实例认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A）。知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
    11．图形与坐标：认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
    12．图形与证明：理解证明的必要性。强调通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。强调结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。强调通过实例，体会反证法的含义。强调体会证明的过程要步步有据。

    （三）主要特点

    与其它课程内容相比，空间与图形课程内容具有一些突出的特点：

    1．强调现实背景、学生的生活经验和活动经验
    即，强调空间和图形内容的现实背景，强调和重视空间与图形内容的选材应具有现实背景，将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，不仅包括长期以来人们所习惯的标准的几何图形，而且也包括丰富多彩的现实世界中的二维、三维图形及其相关问题，如，“某汽车的车牌倒映在水中，你能根据水中的影子确定该汽车的牌照号码吗”等；呈现空间与图形内容，尤其突出对活动过程的体验和活动经验的积累，通过实物图片、插图等体现呈现方式的多样性，通过探究思路和方式的多样性、空间与图形问题的开放性、图案设计的不唯一性等多种渠道给学生的个性发展留下充分的时间和空间。

    2．突出空间与图形活动的全过程，突出策略、方式的多样化
    即，突出观察、描述、制作，从不同角度看、认识方向、制作模型等活动，突出用观察、操作、变换、坐标、推理等多种方式了解现实空间和处理几何问题，体会更多的刻画现实世界和认识图形特征的角度和工具，发展学生的空间观念、图形设计能力与推理能力。
    课程内容不仅涉及对基本图形的认识以及对其性质的证明等内容，而且涉及从物体的影子到中心投影、平行投影等十分现实的内容，不仅涉及在生活背景之下的图案设计、物体的相似、图形的放大和缩小等一系列内容，而且介绍一些十分有趣、同时又能反映现代几何发展基本思想的内容。不仅为学生提供“确定物体位置的不同方法”等实际内容，也通过适当的方式，使学生感受空间与图形的文化价值，体验“图形与空间”取材于现实、应用于现实的事实，逐步建立“图形与空间”与自然、社会和人类生活密不可分的联系。

    3．注重经历几何建模过程和发现、探究过程，强调培养学生的几何直觉和空间观念，体现直观几何、实验几何到推理几何的自然过渡
    即，注重使学生经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形的过程，注重探索图形与空间的性质和变化规律的过程，重视发展空间观念和几何直觉。亦即，从学生生活的三维空间开始，通过观察、操作、从不同方向看、展开与折叠、图案欣赏与设计等丰富多彩的活动，进一步丰富学生的几何活动经验和良好体验，充分发掘学生空间与图形的潜能，在直观发现、探究交流和逐步的有条理思考的过程中自然地引导学生体会证明的必要性、理解证明的基本过程，掌握演绎推理的基本格式，初步感受公理化思想。

    4．突出空间与图形的文化价值
    空间与图形有着丰富的历史渊源和文化内涵，《课程标准》中的“通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割”、“通过对欧几里德《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值”等要求，就是希望通过介绍数学文化及在社会发展中的作用，使学生感受数学的价值。如勾股定理产生的历史；勾股定理与无理数的产生的关系；勾股定理的各种证明方法；勾股定理的推广；圆周率π的历史；黄金分割与建筑和艺术的设计，等等。《课程标准》强调数学史料的作用以及现代科技与空间与图形内容的联系，突出空间与图形丰富的历史内涵、文化价值和现代科技背景（如结合几何体的切截以读一读的形式介绍医用CT等）。在教学中，向学生介绍七巧板的有关史料，特别是古人给出的七巧板拼图，使学生感受几何图形的优美和我们祖先的智慧；介绍有关规、矩的历史资料，使学生体会它们在中国古代几何作图及测量中的作用；介绍古代埃及、巴比伦、印度、中国对各种简单几何图形面积和体积的计算结果及其现实背景，使学生进一步体会几何学与人类生活经验和实际需要的密切关系。

    5．重视量与测量，加强测量的实践性，并将其自然地融入到其它内容之中
    《课程标准》特别重视量的实际意义，强调在测量过程中学会根据现实问题选择适当的测量方法和工具，以及利用测量进行数学探究活动。如列出“会度量两条平行线之间的距离”、“利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）”等明确要求。《课程标准》强调学生对量的实际意义的理解，以及对测量过程的体验。需要指出的是，要避免繁杂的单位换算，而将主要精力放在对测量实际意义和作用的理解上；在     “测量”的各条目标中,不仅要关注测量的准确性，而且更要关注学生在测量活动中是否能积极探索，能否用不同的测量方法进行测量。此外，《课程标准》重视估测以及其在现实生活中的应用，并要求估测活动应贯穿于整个测量过程之中，如在“图形的认识”中对“角”的要求进行了调整，增加了“能估计一个角的大小”的要求。

    6．调整对证明的要求，加强合情推理，强化学生对理性精神的真正理解
    《课程标准》认为，理性精神最基本的涵义在于对客观事实的尊重，质疑反思的习惯和与他人合作交流的意识。推理包括演绎推理、归纳推理、类比推理等形式，而归纳和类比都是合情推理的主要形式。例如，《课程标准》在各项具体的目标中，大量使用类似于“体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题”的语言，体现探究过程，其中包括归纳、猜测、类比、直觉、说理、推理证明等过程。
    《课程标准》中还指出，逻辑证明的要求并不局限于几何内容，而应该体现在数学学习的各个领域，包括数与代数、统计与概率等领域；对于几何证明的教学，《课程标准》强调使学生养成“说理有据”的态度、尊重客观事实的精神和质疑的习惯，形成证明的意识，理解证明的必要性和意义，体会证明的思想，掌握证明的基本方法等等，而不是过于追求证明的技巧、证明的速度以及题目的数量和难度。
    事实上，《课程标准》简化了《大纲》根置于20几条公理、证明70几条几何命题的做法，以“①一条直线截两条平行线所得的同位角相等。②两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行。③若两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等。④若两个三角形的两角及其夹边分别相等，则这两个三角形全等。⑤若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。⑥全等三角形的对应边、对应角分别相等”为基本“公理”，结合默认的一些代数公理，论证关于三角形、四边形的40余条基本性质，同时，大大强化了对证明的必要性、证明意识以及反例等的认识。

    7．加强几何直觉、空间观念的培养，并通过增加有关内容、加强已有的某些内容等途径实现对几何课程目标的转变
    适量增加有利于培养学生几何直觉和空间观念的学习素材、学习内容，也是空间与图形加强的一个特色。《课程标准》认为，空间观念是一个人在对周围环境和实物直接感知的基础上形成的，应组织学生通过对现实空间中物体的形状、大小及其所处方位的感知，对物体的视图的初步认识和常见的平面图形的了解，积累丰富的几何事实，获得对简单几何体和平面图形的直观经验，以帮助学生理解现实的三维世界，形成初步的空间观念。
    对于曾在传统内容中占主导地位的平面几何，注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程；注重对基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系的探索过程，进一步丰富对空间图形的认识和感受，并在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理的思考与表达。
    对于新增的图形与变换内容，注重从生活的角度学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。对于全新的视图与投影内容，强调素材的生活化、现实化，并逐条提出明确的目标要求，如投影：通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）；了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示；通过实例了解中心投影和平行投影。
    《课程标准》引入“从不同方向看同一个物体”的内容，突出数学与生活的联系，使学生在观察、猜想、推理的过程中思考和交流，不断发现实物与它的影子之间的联系，不断形成自己对空间与平面之间的联系的看法，发展空间观念。空间观念是创新意识的重要组成部分，但在传统的中学数学教材中，几乎没有这方面的内容。《课程标准》添加的新内容，使我们的学生有机会接触到对他们全面、持续、和谐发展有用的数学。
    此外，适当增加和渗透反映现代几何学相关学科、领域的基本思想和初步内容，如观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等)，了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)，也是《课程标准》内容加强的一个方面。