三、高中数学典型内容分析2-向量

    向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。既是代数的对象，也是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，因此，向量是集数形与一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。
    高中数学《课程标准》将向量内容分为平面向量和空间向量两部分，其中，平面向量出现在必修模块的数学4中，空间向量则出现在选修课程系列2的选修2-1中。在这两部分内容中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。

    （一）平面向量

    在高中数学《课程标准》中，平面向量的课程内容与要求是：
    1．平面向量的实际背景及基本概念
    通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
    2．向量的线性运算
    （1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
    （2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
    （3）了解向量的线性运算性质及其几何意义。
    3．平面向量的基本定理及坐标表示
    （1）了解平面向量的基本定理及其意义。
    （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
    （3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
    （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
    4．平面向量的数量积
    （1）通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
    （2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
    （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
    （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
    5．向量的应用
    经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

    （二）空间向量与立体几何

    1．课程内容与要求
    在高中数学《课程标准》中，空间向量鱼立体几何的课程内容与要求是：
    （1）空间向量及其运算
    ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
    ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
    ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
    ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
    （2）空间向量的应用
    ① 理解直线的方向向量与平面的法向量。
    ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。
    ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）。
    ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

    2．设置向量内容的依据
    向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。向量既是代数的对象，又是几何的对象，体现了数形结合的思想。高中数学教材中引入向量内容有其合理性和必要性。
    （1）向量的引入符合国际数学课程改革的思路
    随着国际数学教育的不断发展，各国的数学课程改革也在不断深入。很多国家在不断地改革过程中把函数与微积分、概率统计、向量几何学作为高中数学的核心内容。例如，日本：高中有平面几何选修课，高三选修有少量的向量几何；美国：没有综合法的几何学，但有向量矩阵表示的几何变换；英国：没有综合法的立体几何，但有向量方法处理线面关系。
    从国内数学课程的现状看，九年义务教育的实施，数学课程从内容到形式，较实施义务教育前，要求有所降低，知识面有所扩大。而原有的高中数学课程教材存在比较多的缺陷，如教学内容陈旧。在传统教材中，除集合思想有所渗透外，其他内容基本上只包括17世纪以前的代数、几何内容，而在其他一些国家占有重要地位的概率统计、向量、微积分初步等很有实用价值的内容均无所涉及。有些价值不大的内容又贪多求全。
    高中新课程还体现了多样性和选择性，课程内容继承了我国数学教育的优良传统，重视学生对必要的基础知识和基本技能的熟练掌握，并力图改变目前数学课程及实施过程中的某些“繁、难、偏、旧”状况，重视数学与其他领域的联系，重视对数学的理解，重视借助现代数学中的基本思想方法改造传统教学内容。以工具性为主要特点的向量作为有实用价值的内容之一，选入高中数学新教材是合情合理的，这也符合国际数学课程改革的思路。
    （2）向量的引入有助于学生了解现代数学与中学数学的联系
    尽管现代数学的高度抽象性，使它与中学数学拉大了距离，但从数学发展的历史来看，现代数学是多级抽象的结果。它的原型和特例大都来自变量数学，变量数学的原型与特例又来自于常量数学，而数学无疑最终还是扎根于现实世界的空间形式和数量关系之中。
    中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是现代数学的基础，是现代数学中许多(不是全部)概念和理论的原型和特例所在。
    作为现代数学重要标志的向量引入到中学数学中来，进一步发展和完善了中学数学知识结构体系。由向量数与形的双重身份，使它成为中学数学知识的交汇点，通过对传统问题的分析，帮助学生建立代数与几何的联系，构造学生知识的网络，也为中学数学向高等数学的过渡奠定一个直观的数学基础。
    （3）向量的引入改善数学问题的处理方法
    利用向量处理问题，能减少人们对空间形式的依赖和想象，避开繁难的思维构思，缩短推理过程。如利用向量处理三角问题，求异面直线的距离等问题，这样做与旧教材中处理法相比，方法更加集中、简便，过程更流畅，降低了教学难度，节省教学时间，为增设微积分、概率、统计等内容腾出空间。
    （4）向量的引入更新空间思维方法
    传统的数学思维的培养，是借助现实几何对象，局部地或单纯地考虑几何图形性质、利用综合法来实现的，但实践证明，此种方式过繁、过难，学生难于将各种问题各种方法一一存贮，并灵活应用，但利用几何教学培养学生思维又不可替代，如何解决这个矛盾?由于向量具有自由移动性，利用向量，容易把空间对象间的几何关系抽象为向量的运算加以反映，大量的演绎过程被转化为向量的运算过程，使问题易于得到解决。这样，以向量为工具研究几何问题，完全更新了人们对空间问题的思维方法。
    把向量及其运算在直角坐标系中用数量反映，利用数量运算反映相应的性质，实现“数学机械化”。这是数学教育发展的一种新趋向。同时，将问题归结为数量及其间的关系进行研究，这种思维模式有利于学生进一步学习近现代数学，更利于美成学生良好思维，以适应信息时代数字化的需要。
    综上所述，向量进入中学数学是十分必要的。
    为了搞好向量部分的教学，高中数学《新课程标准》提出了一些说明与建议：如，向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，根据学生的生活经验，创设丰富的情境。物理背景是力、速度、加速度等概念，几何背景是有向线段。了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。对于向量的非正交分解只要求学生作一般了解，不必展开。空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。