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第五节 国内外数学课程设计、教材编写的典型方案分析
一、贾斯珀系列——基于情境认知的数学课程设计方案分析(选读)
基于情境认知的数学课程设计的重心在于设置一个完整的真实的问题情境，使学生在此情境中产生学习的需求，并通过亲身体验、自主探索、合作交流，完成从识别目标、提出目标到达到目标的全过程。
体现这一课程设计理念的最典型的案例可能要数美国温特贝尔特认知与技术小组（CTGV）开发的新型数学课程《贾斯珀问题解决系列》（Jasper
solving Series）。
（一）贾斯珀系列简介
贾斯珀系列共包括以录像为依据的12个历险故事，这些历险故事主要是为小学5年级以上的学生设计的，但设计者称，修改后的系列已“适用于幼儿园12年级的教育环境”。
这些历险故事主要是以发现和解决一些数学中的问题为核心。每一个历险故事都是按美国国家数学教师委员会（NCTM）推荐的标准来设计的，而且，每一个历险故事都为数学问题的解决、推理、交流，以及与其他领域如科学、社会学、文化与历史等的互动提供了多种机会。每一张光盘都包括一小段约17分钟的历险录像，录像总是以提出各种各样的挑战性问题而结束。每一个历险故事的设计都像一部精彩的侦探小说，用以解决历险中问题的所有必需的数据以及一些原始的数据都镶嵌在故事中，其中同样也镶嵌了一些教学情境，以便为一些典型的问题解决方法提供示范。这些片段还为学生们提供了一个及时重放录像的机会，以便于他们更好地解决贾斯珀历险故事中的挑战性问题。
（二）案例分析
下面以“邦尼牧场的援救”——贾斯珀系列12个历险故事之一来分析：“邦尼牧场的援救”以贾斯珀的朋友拉瑞教另一个朋友艾米丽学飞超轻型飞机开始，贾斯珀和他的朋友在做去邦尼牧场钓鱼露营的旅行计划。在旅行中贾斯珀发现一只严重受伤的鹰，鹰需要紧急抢救才能存活。全部的问题是艾米丽必须想出办法尽量帮助贾斯珀把这只受伤的鹰送到兽医那里去抢救。
下面根据教学过程录像的笔录来看一下爱丽森教师在六年级的课堂上进行“邦尼牧场的援救”教学的实际过程。观察她的课堂会启发你去思考如何在你的课堂上进行基于情境认知的教学。
旁白：好了，我们已经准备好了去观察在5节课的时间里，爱丽森的学生如何来解决“邦尼牧场的援救”中所提出的问题。爱丽森通过促使学生说出类似的体验来开始她的讲授。
A（爱丽森）：你们有没有参加过野营？或者在森林里做过徒步旅行？有没有发生过紧急情况？
S（学生）：我们在加州的一座山顶上做徒步旅行，突然空中有乌云压过，阳光不见了……
旁白：学生们很快就会发现他们的野外经验与贾斯珀的探险挺相像。爱丽森使学生们对所要观看的探险有所准备。
A：我们所要观看的节目是有关一个叫贾斯珀的人在野外进行徒步旅行的过程中出现紧急情况的故事。我相信你们都能帮助他解决这个棘手的意外。这个故事大约15分钟长。你们不必在观看的过程中做笔记，放完一遍后，我们可以返回再看。
旁白：学生们在观看故事，同时也思考老师提出的问题。爱丽森问：如果他们遇到贾斯珀的情况该怎么办？
A：如果你像贾斯珀一样做徒步旅行，你跟他年纪一样，你也发现了一只受伤的鹰，你会如何办呢？
S：我想如果我发现了那只鹰，我不会把它装进袋子里。我可能会给它进行紧急救助，我会设法帮助它。
A：好，你所面临的挑战是如何帮助我们的剧中人物。贾斯珀已经做了一些紧急救助。他懂得如何照顾动物。所以，你们的任务是想出你所能想出的最佳方法来帮助营救这只受伤的鹰。
1．初步性问题的解决
旁白：如果你像贾斯珀一样想让学生解决一个复杂的问题，那你如何让学生开始着手解决这个问题呢？爱丽森通过头脑风暴法（brain storming）启发全班学生着手解决问题。
A：你们认为在解决这个问题时，什么事情最为重要？
S：飞机飞到牧场要花多长时间？飞机能飞多少英里？
A：片中的一些信息将有助于你们思考。别的呢？
S：飞机能装多少油？需要多少油？能飞多远？
A：很好！
S：飞机能装多少东西？能不能装下那只鹰？
A：很好！现在我想让你们分成小组工作。
旁白：这次爱丽森让学生在各自的小组里继续进行头脑风暴。学生们有很多的机会去参与其中。小组的每个成员都必须发现所有的线索。教师们担心低水平的学生可能很难参与其中。然而，其实这种担心没有必要。
教师1：我很奇怪地发现那些低水平的学生或学习有障碍的学生比我想象的要活跃得多。
教师2：这种参与的确让他们有自信提出一些有价值的意见。他们被当作小组的一员。他们确实乐在其中。
旁白：爱丽森提醒学生们该是进行全班讨论的时间了。每个组都有机会与全班同学分享他们的推理。
S：那只鹰重15磅。所以，我们在计算飞机的载重量时除了计算飞行员的重量、货物的重量，还要加上鹰的重量。
A：好！下一组。
S：片中说邦尼牧场的长度只是一般飞机降落所需的2000英尺的一半，所以，使飞机有足够的地方降落是十分重要的。
A：好！你们都知道
旁白：学生对片中的一些数据还不是十分清楚。爱丽森鼓励他们再返回看片。
A：我们在片中需要看什么？
S：有多少燃料？
A：让我们再倒回去看看。
旁白：因为学生是第一次解决问题，爱丽森教会学生学会用遥控器来搜索所需的具体信息。学生们很快就学会了用遥控器。他们喜欢用遥控器去寻找他们所要的信息。他们懂得什么最重要，什么能帮助他们解决问题。学生们收集了很多他们解决问题所需的信息。爱丽森鼓励他们去合理地组织他们的信息以便第二天使用。
2．拓展性问题的解决
A：我十分欣赏你们昨天在做贾斯珀时能够互相聆听，无论在小组讨论时，还是在进行全班讨论时。这就使我们的讨论变成了大家的。因为你们都参与其中。
旁白：爱丽森对学生的进步感到很满意。但是，这儿还有更多的事情要做。她通过提一个新问题而促使学生开始下一轮的问题解决。
A：我们在选择采取何种营救计划时，首先要考虑的第一个步骤是什么？
S：你要先看哪个方法最快？比如从C城到邦尼牧场，还是从C城到加油站。
A：采取何种路线和方式去营救那只鹰是很重要的。
S：从C城到邦尼牧场有多远？差不多65英里。
A：我给过你们就像医生办公室里的那种地图。
旁白：爱丽森的策略是一旦学生有需要，她就将准备好的材料提供给他们。当学生们开始接近问题的解决时，他们也许会得出一些基于假设之上的问题解决方式。这时，爱丽森就会表扬他们的创造性，同时向他们解释存在的事实。有时教师得花很多时间去聆听学生的思考然后作出相应的回答，但教师们认为这种额外的辛苦是十分有价值的。
旁白：爱丽森学会去辨识最佳的教学时刻并记住它们。在这种情况下，她会将全班召集在一起，因为几个组可能会对同样的一个概念产生疑惑。
A：昨天我注意到你们在各自的小组里都在谈论燃料问题，你们在讨论解决这个问题时产生了什么样的解决方式？
S：你可以算一下飞相应的路程需要多少燃料。就像片中他们说飞30英里大约需要2加仑汽油。如果要飞50英里，你就要计算需要多少汽油？
A：你们还发现了什么问题？
S：我们还发现油箱能装5加仑汽油，而且它是满的。这就能支持飞机飞行75英里而不用加油。
A：大家现在可以再回到小组，用你们刚才共同分享的新信息来修订你们的方案。
旁白：在课的最后，爱丽森让学生们进行反思，用记日记的方式进行一些评价。
旁白：各小组都解决了问题。现在该是他们准备进行陈述的时候了。因为这对学生是一个新的经历，所以爱丽森对陈述者和观众都提醒了所要注意的事项。
A：让我们花几分钟的时间来谈一下做陈述时所要注意的地方。当你做陈述时，有必要让你们组的所有成员都有机会轮流发言。你可能会用到影像辅助、地图等，如果你有时间，还可以使用电脑做陈述。你可以使用你认为最好的方式来与全班同学一起分享你的想法。学生们对陈述、解决方式都很投入，他们还将自己组的陈述同别的组相比较。
他们最终都得到了他们认为最满意的答案，然后他们极力想与他人分享自己的成果。当别人在做陈述时，他们会说：“哦，我们忘记这一点了……”
A：我们有两个组来与大家一起分享他们的成果，你们看看他们的方式有什么不同之处？
旁白：爱丽森让学生们反思在整个贾斯珀系列探险中自己的问题解决过程。在学生们解决完挑战性问题后，教师们可以通过多种方式来开阔学生的学习视野。比如说可以让他们参观艾米丽用来营救受伤的鹰的飞机，提出顺风和逆风的问题等。现在，爱丽森让学生观看有关燃料的类比问题，并以此激发他们对速度的认识。还有一个类比问题是提供机会让学生使用所有的问题解决方式来设计林白横跨大西洋的飞行。
3．与其他学科的统整
数学问题的探险同样可以应用于科学、生物、历史、语言等其它学科的学习中。学生们可以讨论鹰和其它身处险境动物的保护问题以进行下一步的研究。
4．挑战性问题的进一步解决
挑战性问题之一：顺风与逆风
拉瑞现在有一个有趣的问题。试想艾米丽驾驶另外一架超轻型飞机，这架飞机能装20加仑的汽油和400磅的货物。她也不用担心汽油用光了。她能从C城飞到邦尼牧场再返回。她每小时飞30英里。好了，问题来了。在从C城到邦尼牧场的路上，她遇到了每小时10英里的逆风，在回来的路上，她遇到了每小时10英里的顺风，那么这架飞机飞行的平均速度是大于、等于还是小于每小时30英里？为什么？
1．若遇到每小时10英里的逆风，拉瑞的超轻型飞机的航程是多少？
2．若遇到每小时10英里的顺风，拉瑞的超轻型飞机的航程是多少？
现在试想一下：
1．从C城到邦尼牧场，在飞行中若遇到每小时4英里的逆风，而且一直持续，我能顺利完成航行吗？
2．如果遇到每小时10英里的顺风呢？
挑战性问题之二：燃料消耗
拉瑞的超轻型飞机的油箱能装五加仑汽油。在天气好的情况下，它每15英里燃油1加仑。因为他的超轻型飞机每小时飞30英里，所以耗油两加仑。试想如果燃油量有所改变，想想看能否救那只鹰？如果油耗如下所示，看看是否能救那只鹰？
从“邦尼牧场的援救”的教学过程中我们不难看出，基于情境认知的数学学习的发生和发展，在整个教学过程中，为了解决复杂的数学问题，教师不仅运用技术间的交互作用，创设了一个信息丰富的、逼真的功能性数学学习情境，而且为了引导学生解决问题，还创设了一系列巧妙的问题情境。这不仅使学生易于在一个逼真的数学学习情境中形成丰富的心理模型，而且促进学生在有意义的情境中主动学习。我们将这一案例主要特征分析如下：
1．在有意义的情境中学习数学
在教学过程中，教师以叙述故事的方式来呈现有用的信息，与学生学习相关的信息镶嵌在逼真的情境中，从而使抽象的数学知识变成一种活动，引导个体认知的产生，使学生在有意义的情境中学习数学。录像的视觉冲击力优于故事的文本表达，录像故事所创设的逼真的学习情境以及教师在教学中创设的富有启发意义的问题情境，激发了学生学习数学的兴趣，使学生们能对数学学习保持长久的兴趣与探索的欲望；而精心设计的录像故事在本质上就是为学生们的学习与参与提供一个交流互动与反思的平台，丰富了学生对数学概念的深层理解。
2．通过主动学习获得数学知识
在教学过程中，学生是通过解决一步步复杂的问题来主动学习数学的，数学问题的解决呈层阶递增（初步性问题--拓展性问题--挑战性问题），学生们在教师的促进帮助下，反复利用录像，参与小组讨论与合作，为了完成任务（用最佳的方法营救受伤的鹰）自觉进行探索，主动识别问题，并以小组为单位与全班同学分享他们的推理。在问题解决中，学生们要用到大量的数学公式及运算方法，还要进行各种各样的估算与计算。如，在初步性问题解决中，学生要识别出“距离”等众多数学概念，并运用它们。通过对整个教学过程的分析，我们不难看出，学生们学习数学的过程就是一个借助于镶嵌在故事中的各种信息去发现问题，提出问题，解决问题的过程。对贾斯珀系列的研究数据表明：在贾斯珀系列中的合作性学习小组中学习4-5个课时后，5年级的学生在完成类似于贾斯珀系列的任务中更善于进行复杂问题的解决，更善于在学习的过程中识别出问题，主动提出问题，学生在这一过程中主动获得的数学知识显然不是惰性的。
3．建立学习共同体
贾斯珀历险故事的一个鲜明特点是：教师不是孤立地教，学生也不是孤立地学。教师在运用历险故事进行数学教学时，不仅在做与反思中获得了专业发展，而且在与其他教师合作过程中形成了新型的“教师学习共同体”，共享贾斯珀教学中所研究和关心的所有问题；同时，教师作为指导与促进学生们学习的“支架”，在与学生们共同进行历险问题的解决中，以录像呈现的逼真学习情境为平台，形成了“垂直性互动”的师生学习共同体；而学生们在对历险故事进行观看的过程中，拥有不同知识背景的学生可以借助录像中视像的支持形成共同的思想与核心词汇，这将使他们共同参与合作性的活动成为可能。学生们不仅有充足的时间与教师、家长、社区成员进行交流与互动，形成“垂直性互动”的学习共同体；而且在与同伴共同解决数学问题，进行水平性互动中，建立起“水平性互动”的学习共同体。各类学习共同体的建立，使所有的共同体成员共同参与实践、共享经验、共同成长。
4．架设“学校数学”与“日常数学”的桥梁
数学既是认知的，又是社会的。“邦尼牧场的援救”教学过程中充分体现了这一建构主义思想。数学走出了传统的“抽象与玄妙”，而与学生的日常生活实践紧密联系在一起。在历险故事中，几乎所有的问题都是生成性（generative）、开放性的，学生们要考虑各种可能的因素，按照自己的思路形成不同的问题解决方案，在问题解决中，运用已有的数学知识对数学进行有意义的建构。传统抽象的数学学习变成有意义的活动参与，数学知识不再仅仅是一个具体的对象、一个客观的事实、一打抽象的公式，而是一种由学习共同体建构的、基于情境的、有意义的活动。情境架设了“学校数学”与“日常数学”之间的桥梁，最终使数学学习实现从学校情境到社会情境的迁移，从虚拟、逼真情境到真实情境的迁移。
（三）启示
1．我们可以借鉴“邦尼牧场的援救”中成功的教学经验，创设有意义的数学学习情境，促进学生的主动学习，加强学校数学与日常生活之间的联系，使传统的数学教学真正走出“课本”、走出“课堂”，使学生们在无限广阔的时空中，创造性地探索“数学王国”的奥妙。
2．我们强调情境认知在数学学习中的重要意义，关注情境认知对我国课程与教学改革的启发，但我们同时主张应该处理好认知与学习的情境化与非情境化之间的关系，寻求更有利于学生认知发展的课程教学结构，培养更具创新能力的人。这一点才是我们的最终追求。
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