四、概念的定义和原始概念

    在数学科学系统中，对于每一个数学概念都要给予确定的内容和含义，给概念下定义就是准确地提示它的内涵。在一般情况下，当一个概念的内涵被确定后，就有了评判哪些对象属于或不属于这个概念的外延的标准，因此，概念的定义可作为判别概念外延的标准，但也有些个别的数学概念采用了直接提示其外延的方法。

    （一）下定义的方法

    1．属加种差定义法。这是最常用的一种定义法。先看两个例子：
    矩形：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
    等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。
    这两个定义可以写成下面的形式：
    （平行四边形）＋（有一个角是直角）＝（矩形）
    （三角形）＋（两条边相等）＝（等腰三角形）
    这两个定义的共同特点是：把被定义的邻近的属概念加上被定义概念的所特有的属性。由于所加上的属性只是被定义概念所特有的，因此把它叫做被定义概念的“种差”，而这种定义的方式就称为是属概念加种差的方式，简称为属加种差。
    用这种方式下定义需要明确两件事情：第一，要找出被定义概念的邻近的属概念，被定义项的概念的外延要被包含在哪个属概念的外延之中；第二，要指出它区别于这个邻近属概念下其它概念的种差，这是对被定义项内涵的揭露。
    这种定义方式的优点在于能用已定义的概念来定义它的种概念，用种差来提示被定义项的特性与性质，这样的定义既准确又明了，而且对提示概念间的关系很有帮助，可将概念系统化。

    2．发生定义方式。有的种差是被定义概念所反映的对象产生或形成的情况。人们用一类事物产生或形成的情况作为种差做出定义，叫做发生定义。
    例如，在平面几何中，将角定义为射线绕它的端点旋转所成的图形叫做角，这个定义形象地描述了角的形成过程。虽然这种定义方式用语言叙述起来往往会比较长，但它直观、生动，有时还可用图形形象地表示出来。

    3．关系定义法。有的种差是被定义概念所反映的对象与另一对象之间的关系，或它与另一对象对第三者的关系。人们用对象之间的关系作为种差而做出的定义，叫做关系定义。例如，“奇数是不能被2整除的数”就是一种关系定义，它的种差就是奇数与2的一种关系。　

    4．外延定义法。在数学中有些概念的外延是单一的或者是几个简单明显的对象时，往往采用直接提示概念的外延作为它的定义。例如，例如对实数的定义就采用了这种方法，将有理数和无理数统称为实数。

    （二）下定义的基本规则

    形式逻辑的定义规则是在已有的具体知识的基础上，提供下定义所普遍需要遵守的规则，因此，为了正确地给概念下定义，就要遵守下列基本规则：

    规则1　定义应当相称
    这就是说定义项与被定义项的外延必须相同，要恰如其分，不能扩大也不能缩小。
    比如，不循环小数是无理数，这种定义是不合理的，因为定义所确定的外延包括了有限不循环小数数，它恰恰是有理数，无理数的定义应该叙述为：无限不循环小数和是无理数。

    规则2　定义不得恶性循环
    在一个科学系统中，如果把甲概念作为已知概念定义乙概念，但是又用乙概念来定义甲概念，这就是定义的恶性循环，也就是说定义项中不能直接或间接地包含被定义的项。因为如果在定义项中直接或间接地包含被定义的项，这样的定义仍是不明确的，也达不到明确被定义项的目的。例如，若用两直线垂直来定义直角，反过来又用直角来定义两直线垂直，这样的定义既不能提示概念的内涵，也不能说明概念的外延，所以在定义概念时不能出现恶性循环。

    规则3　定义要简明
    这就是说，定义中不应列举非本质属性或多余的词语，不能含有能由推理得出的本质属性。例如：“有两条边相等，两个角相等的三角形是等腰三角形”就违背了简明的要求。因为“两条边相等”和“两个角相等”这两个等腰三角形的本质属性中，任何一个都可以根据另一个经过推理而得出。又如，把平行四边形定义为“两组对边分别平行的平面四边形”，其中平面一词是多余的，因为平行或相交的两条直线必共面，因此，这样定义平行四边形又违背了简明的原则。

    规则4　定义一般应避免用否定的形式
    定义是为了提示被定义概念的内涵，如果定义中包含了类似“不”、“无”、“非”等字样，那么定义项只能表示被定义项不具有某种属性，而没有表示被定义项具有某种属性，因此定义应对被定义项的本质属性用肯定形式而不应用否定形式。例如把奇数定义为“不是偶数的数”，这个定义既不能提示无理数的本质属性，也不能确定它的外延，达不到定义的目的。
    但是，这个要求并不是绝对的，因为有些概念的特有属性就是缺乏某个属性，对于这样的事物在下定义时就必须用否定的形式。比如：“无理数是无限不循环小数”，因为它不具有循环这个特性；再比如：“在平面内，永远不相交的两条直线叫做平行线”，因为平行线就是在具有“在平面内永远不相交”的性质。

    （三）原始概念

    在一个科学系统中总是要对概念下定义，而且一定会用一些已知的概念来定义新的概念，但概念的个数是有限的，又由第二条规则可知，下定义是不能恶性循环的，因此总有一些概念不能引用别的概念来定义，这样的概念叫做这个科学体系中的原始概念。
    比如，把平行四边形定义为两组对边分别平行的四边形，因此就必须先对四边形、平行以及对边进行定义。定义四边形时，应先对多边形及边进行定义，又必须先定义折线，故必须先要对点和直线进行定义。但是，在一般的初等几何中，点和直线都无法再用已被定义过的概念进行定义，它们都是原始概念。在数学中，点、直线、平面、集合，空间、数、量等都是原始概念，但在其中有些是通过公理来直接描述的，虽然有些概念在中学课本中也有解释，但这种解释并不是定义。