四、数学问题解决的教学

    进行数学问题解决的教学，首先必须了解数学问题解决的基本过程，把握数学问题解决教学的一些基本策略。

    （一）解数学问题的过程分析

    解决问题的过程是人的心智活动过程。在这个过程中，要求学生具备一定的数学知识与技能、具有良好的心理品质及对数学的情感。一般来说，解决数学问题的过程包括以下几个阶段。

    1．了解问题情境
    了解问题情境就是具体地认识这个数学问题，知道问题陈述的是什么。首先应当认真地读一读，还可以比一比、画一画、做一做。了解问题情境起着解决问题的思维定向作用。学生从问题情境中接受到了信息，注意力便集中于从已知状态达到目标状态的努力之中。
    例，把一根1.5米长的长方体木料横锯成4个小长方体，表面积增加9.6平方厘米，问这根木料的体积是多少？要让学生通过读题思考，或者画图或者摆弄学具知道，该问题是要把长为1.5米的长方体木料分割成了底面积不变，高度改变了的4个小长方体，这4个小长方体的高度可以不一致，但锯得的横截面积是相等的。锯完后由于底面增多了，所以表面积增加9.6平方厘米，求这根木料的体积是多少？
    而对于那些学生感到陌生的问题情境，教师也可给予适当的解释、说明、甚至模拟表演等等。

    2．明确问题的条件和目标
    了解问题情境，尤其是正确地理解了情境命题的关键词语后，学生就与问题情境发生联系，进而可以将问题的条件和目标从情境中明确地分离出来。如上例中有“横锯”这个词，理解了“横锯”的含义，就可以从题中分离出条件，“长方体木料长为1.5米，横锯成4个小长方体，表面积增加9.6平方厘米”。所求是，“这根木料的体积是多少”？
    对于小学生来说，有些比较隐蔽的或具有潜在意义的条件容易被忽视。如，王老师买了30盒水彩笔，一部分平均分给7个美术小组，剩下的作为奖品发给画得好的同学们。请问，能剩下多少盒？题中的“平均”是一个重要的条件，对正确解决起决定作用。但这里又不是将所有的30盒都平均分，而是分一部分。
    有些问题的目标不容易分辨。如，“一千克水中放农药多少？”和“一千克水中有农药多少？”等。有些问题的目标不容易找到，如，“丁燕是班级的宣传委员，她准备出一期板报，需要一张正方形的纸。但是她只找到了两张如图所示的纸。她动了一番脑筋，将这两张纸通过剪拼得到一个正方形，没有剩余。你知道她是怎样剪拼的吗？”题中的目标比较隐蔽。

    3．寻求解决方法
    寻找解决问题的方法是解决问题的核心。学生明确了问题的条件和目标，就是着手寻找它们之间的联系，进而解决这个问题。寻求解决问题的方法，不是简单地利用已有信息（问题的条件、已有的知识经验等），而是对这些信息进行加工和重新组合。如上例，由长方体的木料横锯成4个小长方体，每个长方体有2个底面，知4个小长方体有2×4=8个底面，这些底面和原长方体的底面面积都相等。由此可知，表面积增加9.6平方厘米的原因是锯成4个小长方体后，增加了和原长方体底面积相等的6个面的缘故。把上述条件联合起来，利用已有知识可以推理得出：长方体底面积=9.6÷(2×4-2)=1.6(平方厘米)
    由长方体的长（即高）为1.5米、底面积为1.6 平方厘米，算出这根长方体木料的体积。
    信息加工的过程也可以理解为“问题转化” 的过程，即将问题一步步进行“等效”的变化，使已知与“所求”的距离愈来愈接近。在小学数学问题的解决过程中，问题转化的主要方式是变更问题的条件和目标。如：小明算加法，把一个加数十位上的3当作8，个位上的7当作1，结果加得的和为273，问正确的和应是多少？解决这个问题首先要将问题的目标“正确的和应是多少”变更为“273与正确的和相差多少？”再将问题的条件“把一个加数十位上的3当作8”变更为“273比正确的和多了10×（8-3）=50”，再将条件“把个位上的7当作1”变更为“273比正确的和少7-1=6”，在此基础上进一步将两个条件变更为“273比正确的和多50-6=44”，于是，便达到了变更后的目标，进而求得正确的和为273-44=229。

    4．求得解答并检验
    把解决问题的方法实施于已经清楚辨认的问题情境之中，求得问题的解答，再进行一定形式的检验，看答案是否合理、解题方法是否简捷。如对上面分析例子的解答与检验。
    长方体的体积=9.6÷(2×4-2)×150=240（立方厘米）
    经检验确定，解题的方法和计算是正确的。问题的答案即是，这根木料的体积是240立方厘米。

    5．回顾反思
    回顾反思是解决问题过程中一个很重要的步骤，它是对解决问题过程的“评估”。对解决问题的回顾反思并不是以“答案”为唯一目标的。回顾反思的内容包括：回忆问题是如何解决的，突破口是怎样找到的，运用了哪些思想方法，讨论利用某种计算方法的理由，是否有进一步可以改进的地方，是否还有其他解法，哪种方法最简捷，解决问题的过程中是否有些“误导”的想法，从中受到了哪些启示等等。
    通过以下的例子完整地展示数学问题解决的全过程。
    例，如图所示，以一个三角形的三个顶点为圆心，以1厘米长为半径画三个圆，求图中阴影部分的面积的和。

    第一步：了解问题情境。读题理解题意，一个关于圆和三角形、扇形的几何问题。
    第二步：明确条件和目标。从问题情境中分离出三个条件：已知一个三角形；三个圆的圆心分别为三角形的三个顶点；每个圆的半径都为1厘米。目标是求图中阴影部分的面积。
    第三步：寻求解决方法。从条件出发，由条件1可知这个三角形的边长和各个角的大小都不确定，是一个任意三角形，对于任意三角形只有三个内角的和确定，是180度；由条件2可知三个扇形的圆心角是三角形的三个内角，由1还可以知道三个扇形的圆心角的和是180度；由条件3可知三个圆的半径都相等，因而三个扇形的半径也都相等，综合2可知三个扇形拼起来为半径是1厘米的半圆。再看要达到的目标，三个扇形的面积，可以变更为求三个扇形拼成的半径为1厘米的半圆面积即可。由此沟通了条件和目标，找到了解决问题的方法。
    第四步：求得解答并检验。列式求出图中阴影部分的面积为：3.14×1÷2=1.57（平方厘米）
    检验上述的每一步，确定没有差错。最后写出答案，图中阴影部分的面积为1.57平方厘米。
    第五步：回顾反思。在解决问题的过程中，要抓住不变的量进行研究，往往能够找到解题思路。
    解决数学问题的过程，不仅是培养学生解决问题能力的过程，更是培养学生创新意识与创新能力的过程。教师应在教学模式创新上下功夫，打破传统教学的封闭体系，实现以问题为导向，注重启发与探索，提倡合作与交流，培养学生的主体意识和分析问题解决问题的能力。

    （二）数学问题解决教学的基本策略

    关于数问题解决，我国许多专家学者都曾做过大量有益的尝试，并提出了许多有建设性的意见和建议：

    1．进行精心选择和设计问题
    在问题选择时，要按照《标准》的要求，紧扣教材的教学内容，遵循必须具有可接受性、障碍性、探究性、可控性以及可生性和开放性原则,要从学生已有的经验出发提出问题，引起学生对结论迫切追求的愿望，将学生置于一种主动参与的位置。在教学过程中，教师不仅要给学生提供解决的问题的方法，更要鼓励学生能在实践中发现问题，关注自己感兴趣的内容，尝试利用已有的知识解决实际问题。

    2．注意归纳总结解决问题的思维策略，培养学生的创造力
    在课堂教学中，教师的对话与指导要有一显一隐两条主线：外显的主线是学生的活动，内隐的主线则是学生的思维。在问题解决教学设计中，根据学生的外显的活动对学生的思维进行分析并适时进行指导；在启发指导时使用的语言要具有发散性，不能禁锢学生的思维；大胆鼓励学生运用直觉去寻求解题策略，不论学生得出的结论怎样，要在与学生的对话中鼓励学生大胆说出自己的想法；教师指导学生的重点应是启发学生怎么去想，怎么做则是想好以后顺理成章的事情。

    3．构建良好的师生合作关系
    问题解决教学过程中，教师是学生学习的组织者、合作者、参与者，教师的作用在于引导。不再将重点放在是什么的知识上，而是着重于为什么的知识上，在教学设计时要先对学生的起点技能、先决技能做认真的分析，再根据学生的学习能力等情况成立学生学习合作小组，在教学进程中，要给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼的环境，加强同学的交流，相互启发，提高对数学知识的理解。

    4．要充分调动学生的非智力因素
    教师的对话和指导应突破认知领域而延伸到情感等其他领域。在课堂教学中，要善于发现学生的闪光点，让学生充分的肯定自己；当学生思维受阻时，教师要对学生给予适当的鼓励，增强学生战胜困难的勇气和信心，让他们形成良好的学习态度。这也是新课程所强调的“学生的全面发展”。

    5．重视解题策略的培养
    解决问题的策略是指解决问题的人用来调节自己的注意、回忆和思维的技能。好的解决问题策略，是人们长期解决问题经验的总结，它对于解决特定问题很有效。
    数学问题千变万化，解决问题的策略也多种多样。小学数学问题的解决需要根据具体的情境和问题的形式采用恰当的策略。解决问题的策略不是先天形成的，是在解决问题的过程中逐步形成和发展起来的。解决问题的策略可以帮助学生将解决问题的方法与目标建立起联系。任何类型问题的解决都要运用一定的方法，而解决问题策略的作用，就是在解决问题的过程中，帮助学生将解决问题的方法具体的应用起来。小学生解决问题的策略，会随着对解决问题目标的期望和问题的难易程度的改变而发生变化的。在解决问题的过程中，学生应当逐步学会根据问题特点，灵活的选择和调整解决问题的策略。
    小学数学常用的解决问题策略包括以下几种：
    猜测：猜测是一项重要的思考策略。小学生在解决问题的过程中，要进行大胆猜测，并核对猜测与问题的情况是否符合，再根据核对得出较正确的推理，形成解题的有效策略，并加以灵活运用。
    作图：这是一项具体化的策略，可以帮助审题、分析和检验。作图不仅包括线段图，而且包括实物简图等。小学生在纸上图图画画可以拓展思路。使用这项解题策略，比较符合小学生思维具体性的特点。
    举例：这项解题策略的实质就是把问题情境图解化。例子可以基于学生熟悉的具体事实，学生通过举例使问题的情境具体化，使思路清晰。
    情境：学生在解决问题的过程中，用人或物模拟问题的情境，使学生比较清楚问题的具体情境，使语言叙述的问题变得生动具体，便于理解。
    简化：这种策略，对于叙述比较复杂的问题是非常必要的。简化可以是去掉一些无关的因素，也可以把大问题变化成几个小问题，使因果关系比较清晰。省略也是一种基本做法，即除去不适用的资料，减少解题活动时的困扰。简化题目的目的，是使学生自己的思路比较清楚。
    验证：学生在进行探索之后，需要对结果进行验证。验证是确定结果的过程。验证可以用多种方法进行。如，图表等。验证涉及到多种思考的方法，如，反向思维等。验证也涉及到对解决问题的回顾。更进一步，学生可以通过演绎或者图解说明某一假设或某一结果。
    延伸：学生利用这种策略，能够对问题进行进一步的思考，使结论更一般化。这样对于知识的迁移有好处。学生利用这种解题的策略，也能更加清楚地看到研究结果的意义。
    在解决问题教学过程中应重视启发学生体验具体的解题策略，逐步学会运用多种策略解决数学问题。要引导学生多角度、多方位、用不同的方式考察问题和分析问题，力戒将注意力局限于问题的某一方面。如果思考问题的角度单一，往往会导致回答问题不完整，或找不到思路。
    例如，用剪刀把一张正方形的纸剪下两个角，说明这张纸还有几个角 ？

    可以让学生用不同的方式尝试，采取不同的策略解决问题。
    总之，在数学问题解决教学中，首先要给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼的问题情景；其次，从学生的已有经验出发提出问题，引起学生对结论的迫切追求的愿望，将学生置于一种主动参与的位置；再次，大胆鼓励学生运用直觉去寻求解题策略，必要时可给一些提示，并适当延长时间；最后，讨论各种成功的解法，如果可能的话，和以前的问题联系起来，对问题进行推广，概括出一般原理。

    附：典型案例——制作一个尽可能大的无盖正方体

    一、课题：制成一个尽可能大的无盖长方体
    二、教材：义务教育课程标准实验教科书数学（7-9年级，北京市师范大学出版社）七年级上册。
    三、教学内容分析：用一张正方形的纸制成一个尽可能大的无盖长方体，是《全日制义务教育数学课程标准》“综合实践与课题学习”领域的内容。
    对学生而言，这是一种全新的学习内容，也需要全新的学习方式。对这个课题的研究，需要学生综合应用已经学过的图形的展开与折叠、字母表示数、列代数式、求代数式的值，以及利用代数式的值探索代数式所反映的规律等方面的知识和方法。“制成一个尽可能大的无盖长方体”是非常现实的内容，而且有趣、富有一定的挑战性。通过这一课题的研究性学习，让学生进一步了解数形结合思想，发展学生的符号感；在学习中，学生经历了从实际问题中建立数学模型、分析、猜测、交流、推理和反思等过程，能够体会数学与现实生活的紧密联系，这将有利于学生更好地了解数学，应用数学，增强学生学好数学的自信心。通过主动学习、积极实践，学生的空间观念也可以得到进一步发展。
    教学重点：数据的收集与处理。
    教学难点：如何利用离散的值细化代数式的值，进而判断最值。
    四、教学目标
    1．经历“从实际问题抽象出数学问题－建立数学模型－综合应用已有的知识解决问题”的过程，进一步丰富学生的空间观念和符号感。
    2．通过借助已有的信息去推理事物变化趋势的活动,发展学生的推理能力，让学生积累研究问题的一些方法和经验。
    3．在几何知识、代数知识等的综合应用中，体会“无限逼近法”的数学思想，感受数学的整体性，体会用实验、估算法研究问题的可行性，进一步体验数学知识之间的内在联系。
    4．通过经历克服困难和获得成功的体验，增进学生应用数学的自信心，形成对数学知识的深刻理解。
    五、教法、学法设计
    采用“问题情境－建立数学模型－猜测—求解—推理与反思”的模式，体现了重结论但更重过程的课程新理念。
    六、教学过程设计
    （一）教学准备阶段
    1．准备
    一张边长为20cm的正方形纸板，一个无盖的长方体、剪刀、直尺、透明胶、细沙。
    2．操作
    展开一个无盖长方体。（学生实际操作，为用一张正方形的纸制成一个尽可能大的无盖长方体的折叠打好基础）
    3．设疑
    一张正方形的纸怎样做，才能制作一个无盖的长方体？
    设计说明
    · 留出足够的时间让学生充分的思考，以便在课堂上可以用更多的时间尝试“无限逼近”的数学思想。
    （二）课堂教学过程
    1．议一议
    （1）若要用一张正方形的纸板制成一个无盖的长方体，你觉得应怎样剪？怎样折？与同伴进行交流。
    （学生结合自己的课前准备，分组合作，使学生学习过程成为发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程。
    各合作小组挑选一名代表在黑板上演示，并口述说明：
    只要在正方形纸板的四个角各剪去一个全等的小正方形便可折叠制成，如图1所示。
    教师针对学生的出色表现，给予及时表扬，激励学生信心百倍地投入到后续的学习中。）
    （2）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体的高有什么关系?
    (学生观察,口答：相等)
    （3）若设这张正方形纸板的边长为a, 所折无盖长方体的高为h，你能用a和h来表示这个无盖长方体的容积V吗？
    （学生通过操作交流，列代数式，得出：V=(a-2h)2h）

    2．想一想
    （1）各小组折成的无盖长方体的容积是否相等？
    （各小组间用装细沙的方法验证：用透明胶将长方体粘好，将本组的长方体装满细沙，然后再倒入相邻组制作的长方体中，通过沙的多少来判断无盖长方体的容积的大小。）
    （2）随着剪去的小正方形边长的增大，所折长方体的容积如何变化？如何能更直观地表达这个变化趋势？
    （让学生比较剪下小正方形与长方体的容积的大小猜想得出：剪下小正方形的边长越长所得长方体的容积越大。）
    3．做一做（验证猜想）
    （1）若剪去的小正方形的边长按整数值变化，即分别取1cm,2cm ……10cm时，折成的无盖长方体的容积将如何变化？请你制作一个统计图（表），表示这个变化状况。
    （借助计算器求代数式的值,制作统计表可以形象地表达这个变化,若制作折线统计图可以更直观地表达这个变化）
    （2）通过自己所做的表格，你发现了什么？
    （小组合作，教师参与，小组派代表发言：随着所剪去的小正方形边长的增大，容积先增大后减小。教师给予肯定，再次表扬，让学生感受成功的体验。）
    （3）观察统计表，当小正方形边长取什么值时，所得长方体的容积最大？
    （学生通过制作的统计表得出：在这10组数中，当边长取3cm时，容积最大为588立方厘米。）

表一

    4．议一议
    用边长为20cm的正方形纸板，你能制作出容积尽可能大的无盖长方体吗？
    设计说明
    · 这是第三部分“做一做”的深入探究。
    教师进一步设疑：是否存在容积大于588立方厘米的可能？
    学生先独立思考，后小组合作交流，结合制作出的统计表，观察无盖长方体的容积随剪去的小正方形边长的增大而变化的趋势：容积先增大后减小。
    有的小组发现：可能当剪去的小正方形边长在3cm～4cm之间取值时，无盖长方体的容积V大于588立方厘米。
    探究出这个问题以后，接着教师设疑：若剪去的小正方形边长为小数，那么整数部分是几？如何来确定？
    学生分小组合作，教师参与。
    （这实际是通过加细代数式的值来考察无盖长方体容积的变化情况）
    5．做一做
    在第三部分“做一做”和第四部分“议一议”的基础上，进一步细化代数式的值。
    （2）若所剪的小正方形边长按0.1cm的间隔取值,即分别取3 .1cm,3.2cm……3.9cm时，折成的无盖长方体的容积将如何变化？
    请你制作一个统计图（表），表示这个变化状况(借助计算器,小组合作，教师参与)。
    在这一环节中，教材是以1cm,0.5cm,0.25cm……的间隔取值,而本节课创造性地运用了教材，以1cm,0.1cm,0.01cm……的间隔取值，可以快速地将问题探究出来。)
    （2）观察你做的统计表,你发现了什么?
    (要求学生根据统计表中数据的变化,探索长方体容积的变化趋势和规律,再次得出：随着所剪去的小正方形边长的增大，容积先增大后减小。这一次较上一次学生用的时间短，教师给予鼓励。)
    （3）观察统计表，当小正方形边长取什么值时，所得长方体的容积最大？
    （学生口答：当边长取3.3cm时，容积最大为591.5立方厘米）

表二

    6．试一试
    若所剪的小正方形边长按0.01cm的间隔取值,则十分位应取几？
    制作统计表，你又发现了什么？
     若所剪的小正方形边长按0.001cm的间隔取值呢？
    （学生按刚才的思路，分小组合作，进一步细化代数式的值考察无盖长方体容积的变化情况。其中有的小组发现：每一次按不同的间隔取值，没有必要9个数据都算出来，只要最大值出现即可。这样可以减少运算量，将节省下来的时间多取几个间隔进行估测。）

表三

表四

    7．预测与评估
    要使所折成的无盖长方体的容积尽可能大，如何确定剪去的小正方形的边长？
    在教师的引导下，学生结合自己做的细化统计表，探索规律。
    （学生相互补充：用边长为20cm的正方形纸板,四个角各剪去四个全等的小正方形，当小正方形的边长取3.333……cm,即尽可能接近时,折成的无盖长方体的容积将尽可能大。）
    8．反思
    由学生谈体会、说感想、讲收获。（学生相互补充：在解决实际问题时，可以先把实际问题抽象成数学问题，建立数学模型，再综合应用所学的知识解决问题。在本节课中，寻找到用一个正方形制成一个尽可能大的无盖长方体的方法，运用了无限逼近的数学思想。）
    9．布置作业：
    （1）用边长为30cm的正方形纸板，如何才能制作出容积尽可能大的无盖长方体？
    （作为对课堂学习的延续。）
    （2）将本节课的收获与感悟整理下来，存放在成长记录袋中。
    七、教学反思
    1．成功之处
    （1）课堂教学设计生动有趣，步步深入，有效地调动了学生学习的积极性。
    （2）比较地体现了学生是学习的主体，“以学促教”，而教师是组织者、合作者、帮助者。师生之间建立了平等和谐的关系。
    （3）采用“从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已学过的知识解决问题”的模式，教学环节的过渡自然,体会深刻。
    （4）有效地调动了学生学习的兴趣，学生独立思考与合作交流相结合，较好地培养了学生的创新思维与实践能力。
    （5）注意体现数学教学中的理论联系实际原则。
    2．存在问题：在用“加细”代数式的值、考察无盖长方体容积的变化趋势时，学生讨论时间的过多，教师对教学的监控能力发挥不够理想。
    八、点评
    在本节课的教学设计以及课堂教学中，教师提供的问题情境启发、设疑恰到好处，比较好地体现了“教师是组织者、引导者，学生是学习的主人”的教学理念；学生通过观察、分析、操作，始终处于积极主动的状态，课堂气氛十分活跃。
    结合现实生活中蕴含着大量的数学知识，学生不但理解了所学的知识，而且培养了学生的创新精神和实践能力，丰富了学生的情感体验和社会经验。
    从教学设计的基本环节上看，这篇案例结构比较明快，学生活动比较充分，体现“课题学习”领域的综合学习、数学建模等比较突出。