第四节 数学能力培养与学生的全面发展

    数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，一方面要体现现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，一方面要注意数学在培养人的科学推理和创新思维方面的特殊功能。数学教育还有利于培养人的实事求是、一丝不苟的科学精神。
    义务教育阶段的数学课程具有公共基础的地位，着眼于学生整体素质的提高，促进学生全面、持续、和谐发展。
    数学能力作为数学素养的重要内涵之一，在人的一生的发展中处于重要地位，注重培养和提高学生的数学能力，促进学生在数学上获得全面、健康和可持续发展，是数学课程的核心目标。

    一、数学能力的组成成分

    数学能力究竟由哪些主要成分组成，它的结构是什么？国内外的学术界还没有统一的看法，学者们正在从不同的角度进行探讨。这里对两种观点作一概括的介绍。
    第一是克鲁捷茨基的观点，他根据数学思维的特点，确定数学能力的组成成分为：
    （1）使数学材料形式化的能力，即从内容中抽出形式，从具体的数量关系和空间形式中进行抽象，以及运用形式结构即关系和联系的结构进行运算的能力；
    （2）概括数学材料的能力，即从不相关的材料中抽出最重要的东西，以及从外表不同的材料中看出共同点的能力；
    （3）运用数字和其他符号进行运算的能力；
    （4）“连续而有节奏的逻辑推理”的能力，这和具体化与演绎化的需要有关；
    （5）缩短推理过程的能力，即用缩短了的结构进行思维的能力；
    （6）逆转心理过程的能力(从正方向思维转到逆方向思维)；
    （7）思维的灵活性——从一种心理运算转向另一种心理运算的能力，从平凡而陈腐的影响束缚下解脱出来的能力。这种思维品质对数学家的创造性活动是很重要的；
    （8）数学记忆。它和数学科学的特点有关。主要是指对概括内容、形式化结构和逻辑模式的记忆；
    （9）空间概念的能力。这与数学的一些分支如几何(尤其是立体几何)有着直接的关系。
    我们认为克鲁捷茨基的观点从反映数学特点出发，以数学思维为核心阐述了数学能力的主要成分，也是到目前为止对数学能力的最详尽的论述，具有一定的学术价值。
    第二是李镜流在《教育心理学新探》一书中所表述的观点。这种观点认为数学能力的结构为：
    （1）认知。包括对数的概念、符号、图形、数量关系以及空间关系的认识。
    其中，数的概念包括基本数量概念(自然数、整数、有理数)、数群概念、序列概念等数学基本概念；符号包括数字、字母、数值大小、相等、正负运算符号、单位符号等数学符号意义及用法；图形指平面图(包括坐标图)、立体几何图形；数量关系指函数关系；空间关系指空间图形与数量关系、空间部分与整体关系。
    （2）操作。包括对解题思路、解题程序和表达以及逆运算的操作。
    其中，解题思路：解题过程能分析和综合各种数量关系与联系；能比较数量间的属性；根据公式、定律去演绎推理解决具体问题，或从具体问题中归纳、还原出公式、定律。程序和表达：解题过程的推理能力和运用数学语言把推理过程表达出来。逆运算：加与减、乘与除、乘方与开方。
    （3）策略。包括解题直觉、解题方式方法、速度及准确性、创造性、自我检查、评定等。
    其中，解题直觉：把眼前的问题情境迅速纳入头脑的认知结构中，根据已有的认知结构模式(即解题经验)迅速作出直觉性判断。解题方式方法：在综合分析众多数量关系的基础上选择突破口，不是盲解、尝试错误或逐法过滤，而是要掌握解题通法，能举一反三，能慎思而不冲动。速度、准确性、创造性：解题快速、准确、有独创性。自我检查评定：能经常自我检查、评定，调整自己的学习以适应不同的数学学习情镜，有一定的数学自学能力。
    此外，关于数学能力的成分也还存在其它一些观点，比如有人认为数学能力即是运算能力、思维能力和空间想象力以及几种主要的思维品质。这些观点都有一定的意义，对研究数学能力具有一定的参考价值。通常情况下，中小学数学教学领域习惯于从运算能力、思维能力、空间想象能力（空间观念）以及提出问题、分析解决问题的能力等角度具体分析数学能力。