二、学生数学基本能力的培养

    数学能力是学生顺利完成数学活动所具备的，而且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征。因此，数学教学不单要传授知识，又要培养学生的数学能力，但能力并不是一朝一夕短时间便可获得的，而是需要有意识地、长期地培养。因此，在教学中如何有计划、有步骤、有目的地培养学生的能力是一个非常重要的问题。
    中小学数学的基本能力包括有关中学数学基础知识的运算能力、数学思维能力、空间想象能力、抽象概括能力、数学解题能力以及数据处理能力。

    （一）运算能力及其培养

    数学运算是在现实生活中应用最广泛的一种数学能力，也是数学诸运算能力的基础，因此，培养学生具有正确而迅速的运算能力是中学数学教学目的之一。数学运算主要包括代数运算、几何运算、分析运算和逻辑运算等。对数学运算能力的要求主要有两点，首先是要运算的准确性，其次是要求运算要迅速，这就是要做到运算的合理、简捷，以寻求最优的运算途径。

    1．运算能力的特点
    在中小学数学教学中，运算能力有两个显著特点：
    一是运算能力的综合性。即运算能力不可能独立地存在和发展，而是与记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力以及空间想象能力及其它能力互相渗透、互相支持的。
    学生不熟记各种数据和公式，就无法正确、迅速地进行各种运算；如果对数学概念或基础知识的理解不透彻，或者根本不理解，运算时就必然带有盲目性。学生不善于推理，就无法选取合理的运算方法，甚至对显然不合理的运算结果也觉察不出。
    运算能力的这种综合性特点，说明运算能力的培养决不能离开其它能力的培养而孤立地进行。
    第二个特点是运算能力结构的层次性。即运算能力的发展总是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次地发展起来的。
    如三角形面积的计算是从具体的形的割补法到代数法、三角函数法，最后在坐标法中又借用三阶行列式这个有力的运算工具。
    由三角形、多边形的面积计算，又发展到任意几何图形的面积计算，于是积分这个有力的运算工具又进入运算领域。
    运算能力的上述两个特点说明，在实际教学过程中既不能让学生的运算能力停留在已有的水平上，也不能超越知识的内容和其它能力的水平，孤立地发展运算能力。同时也说明，中学阶段的运算能力是朝着更为抽象、更加综合，更加复杂的方向发展的。

    2．提高学生运算能力的基本策略
    在中小学数学教学中，可以从以下几方面展开：
    （1）从正确理解概念入手，理解和掌握进行各种运算的有关性质、公式、法则等。
    正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，各种有关性质、公式、法则等是进行正确进行运算的依据。可是如果对这些数学基础知识掌握不够清晰，往往会造成错误，比如如果对算术平方根理解不清楚，就会出现类似的错误。
    （2）强化学生的运算练习是提高学生运算能力的强有力途径。
    任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，因此，要提高学生的运算能力就必须加强运算练习，进行严格训练，按照规律进行反复练习，提高运算的速度。
    （3）加强基本技能技巧的训练。
    在数学运算中适当使用巧妙运算不但可以简化运算过程，提高运算速度，更可以提高运算的准确度，因此让他们掌握一定的技能技巧是非常必要的。但技能技巧要以学生所掌握的基础知识为底蕴，基本运算掌握得“熟”才有可能转化为“巧”。
    要培养学生的技能技巧，首先必须提高学生的观察能力，观察题目的数据间有什么规律，分析具体问题的特点，以此为出发点来解题。
    比如计算
    解：
    本题如果按照数的运算法则来处理，运算过程十分的复杂，而且容易出现错误，但仔细观察本题，发现它正好符合平方差公式，因此按平方差公式稍加变形问题便变得清晰明了。
    （4）在发展中理解运算能力。
    首先，运算能力的内容也是在发展的。
    一方面，随着计算器在我国的普及，运算能力的内容也要发展。例如，四位数学用表是不是还要花那么大的气力去讲。大数目的组合数、排列数的计算、多数据的统计、数据的计算等，使用计算器会不会更方便；甚至对函数图象的描绘、数列极限的讲解、是不是会带来一定的变化，都是值得考虑的。
    另一方面，就是要正确发挥估算的作用。用估算去形成和选择可采用的方法；用估算去作出可能的合理的答案、用估算去估计计算结果是否合理等等。因此是不是估算也应提到应有的地位。
    其次，把知识过渡到技能阶段的时候，要让学生明确计算的目标、计算的步骤以及每个计算步骤的依据。
    事实上，每个具体的计算技能都是依据相应的基础知识而得到的。每个计算步骤也都是以相应的基础知识为指导而进行的。但是，理解了基础知识，并不等于已经形成了计算技能，因为从知识到技能还须有一个练习过程。这里特别要强调目标、步骤、依据。
    例如，在培养学生化任意角的三角函数为正锐角的三角函数的技能时，首先要让学生明确变换的目标是化为正锐角的三角函数，其次要让学生明确变换的步骤和根据是：
    步骤：
    ①化负角的三角函数为正角的三角函数；
    ②化大于360°角的三角函数为小于360°角的三角函数；
    ③把小于360°角但不是正锐角的三角函数化为正锐角三角函数。
    根据：
    ①根据三角函数的奇偶性；
    ②根据终边相同的角，其三角函数值相等；
    ③根据诱导公式。
    在开始练习时，应要求学生能准确地叙述解题目标，计算步骤以及每个步骤的依据。但是随着计算技能的熟练应逐渐简化计算步骤，以便培养学生的计算能力。
    最后，我们常说要培养学生的“正确迅速的运算能力”，这里所指的“正确迅速”，不是单纯的速度快、准确性高，其中也含有运算步骤要简捷的要求，即含有“合理”的要求。这样，首先就要求学生对所学的理论知识的用途和用法掌握得广、掌握得熟练；其次还要求学生具有较强的观察力，善于发现根据哪些知识是求得结果的捷径；经过怎样的步骤运算起来较为简便。显然这些都是培养学生运算能力所不能忽视的问题。

    （二）思维能力及其培养

    数学思维能力是指根据正确的思维规律和形式，对数学对象的属性进行分析综合，抽象概括，推理论证的能力。这是中小学数学教学的目的之一。
    思维能力是数学能力的核心，中小学数学内容毕竟是通过逻辑论证来叙述的，数学中的运算、证明、作图等都蕴含着逻辑推理的过程，而数学结论的发展、探索过程中大量利用观察、归纳、类比、直觉等合情推理等基本的思维形式，因此，提高学生的数学思维能力，就成为数学教学的重要工作，至关重要。

    培养学生思维能力的途径可以从以下几方面进行探索：

    1．坚持数学的严谨性教学
    数学本身是一个极其严密的知识体系，其概念的表达、公式的推导、定理的证明、符号的使用等。“对每个懂得使用它的人来说，都是无可争议的和确定无疑的”     因此在数学教学当中，要求教材能体现出数学体系的严密性和系统性，体现出数学方法的逻辑性和精密性，而且在论证的过程中要体现出推理的思维缜密、表达清楚、层次分明、论据正确和语言精确的逻辑要求。教师的严格要求，也是发展学生逻辑思维的核心环节，因此教师要及时发现并纠正学生容易出现的这样或那样的逻辑错误，或者语言表述的不确切之处，这是培养学生逻辑思维的重要措施，也为今后教学进一步提高严谨性创造了有利条件。

    2．培养学生的数学直观性
    教师要培养学生的数学的直观性，就是要求在数学教学过程中，在关于概念的引入和定理法则的证明过程中，尽可能能为学生提供某种关于这些概念、定理、法则的直观性理解，让学生先从整体上认识数学对象的结构与关系。之所以在逻辑思维能力培养中重视数学直观的培养，主要是因为直观性可以使学生对事物有整体的把握，然后再给出关于定理、法则等命题证明的细节，会使学生对知识对象有更深刻明了的把握。

    3．通过数学解题推理训练积累思维经验
    数学是一门逻辑性很强的学科，它的任何一个命题的真实性，都需要经过一系列的推理加以证明，通过这种推理能力的训练不仅能使学生懂得应该肯定什么或否定什么，更重要的在于使学生懂得肯定或否定的依据。通过数学推理，为学生提供积累丰富的思维经验，提高他们对数学材料加以分析、处理、加工的能力，从而提高对学生逻辑思维能力的培养。

    （三）空间想象能力的培养

    数学中的空间想象力是指对事物的形状、结构、大小、位置关系的想象能力。这种数学能力的特点在于善于在头脑中构成研究对象的空间形状和简明的结构，并能将对实物进行的一些操作，在头脑中进行相应的思考。空间想象能力在数学解题中有着非常重要的意义，是一种重要的能力。
    在高中数学教学中，空间想象力主要包括下面四个方面的要求：
    ☆对基本的几何图形(平面与立体)必须非常熟悉，能正确画图，能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及位置关系；
    ☆能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系．
    ☆能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系．
    ☆熟练的识图能力．即从复杂的图形中能区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系．
    在《课程标准》中，空间想象能力仅仅是初步的，因而，采用“空间观念”更为合适。空间观念是指能根据事物特征抽象出几何图形，也能根据几何图形想象出所描述的实际物体；能够想象出空间物体的方位和相互之间的位置关系。
    事实上，直观与推理是图形与几何学习中的两个重要方面。几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、讨论解决问题的思路、预测结果。义务教育阶段空间与图形部分最重要的课程目标是，使学生更好地理解自己周围赖以生存的空间，发展学生的空间观念、几何直觉和推理论证能力；而推理能力决不仅限于逻辑推理能力，还应包括空间推理、合情推理能力和论证意识。

    在中小学数学教学中，空间想象能力的培养主要通过以下途径实现：

    1．通过数学实践活动培养学生的空间想象力
    平面或空间图形在现实生活中有很多的实例，比如说三角形，正方体等，因此可以鼓励学生通过观察、探索、测量、折叠、剪拼、类比、归纳等多种形式对实物或模型进行分析，在实际背景中理解图形的概念和性质。
    例如为探索三角形内角和定理，教学过程中，首先请学生探索和猜想，通过交流和实践，学生得出三角形内角和是180°。再比如，探索平行四边形的性质时，教师鼓励学生通过旋转、剪拼、论证等多种形式观察和探索平行四边形的性质。

    2．通过数形结合培养学生的空间想象能力
    代数和几何并不是数学中两个独立的分支，代数中解析语言描述的内容往往可以用几何图形进行译释，而数（数量关系）具有概括化、抽象化的特点，所以有些问题的理解和解答就变得困难或繁杂；形（图像、图形等）则有具体化、形象化的特点，利用形在理解或解答某些问题时就可以收到直观易懂的效果。因此，将数的问题恰当与形结合起来可以化难为易，化繁为简，同时在解题的过程中也无形中锻炼了学生的空间想象能力。

    3．把立体几何教学作为培养空间想象力的重点
    教学实践表明，学生的空间想象能力主要是通过立体几何的学习建立的，但因为空间概念、空间观念与平面的相比较更为抽象，因此，不少学生在立体几何的学习时往往感觉到困难，不易形成空间观念。遇到题目时，不能准确地画出图形，有时即使给出图形也不易从图形中区分出基本图形及图形间的关系，因此他们往往对问题不知所措，甚至无从下手。对此，除了在教学中充分利用实物、模型、教具、挂图等直观教学教具进行教学外，还可以采用如下的两个措施：
    （1）通过对比的方法发展学生的空间想象力。将立体图形与平面图形的性质进行对比，这既包括相同性质的对比，同时也包括不同性质的对比，这对发展学生的空间想象力是非常有帮助的。
    （2）通过画图来培养学生的空间想象能力。在平面的纸上画出立体的图形，一方面需要一定的几何知识和一定的空间想象能力，反过来，这种画力图能力的提高，也是学生几何知识和空间观念进一步发展标志。

    （四）抽象概括能力

    抽象概括能力是这次《课程标准》中新加的一个基本能力。因为数学本身是就有高度抽象的特点，而且抽象概括是数学以产生的基本前提，离开了抽象概括，就不会产生数学的概念，更不会有抽象的数学思维，这要求我们能从具体事物中区分、抽象出研究对象的本质特征。抽象概括能力不仅是数学本身与数学学习的需要，同时也是现代社会对未来公民基本素养的要求。在现代社会里，由于人与人交流的广泛以及多种多样的传媒途径，我们会获得很多信息，这就要求我们能从大量的信息中，抽象概括出有用的、有观点性、有价值的结论来，以帮助我们正确的认识事物，并做出合情的判断。
    要培养学生的抽象概括能力，就要从生活实际出发，从生动、具体的实例出发，加上恰当的问题，让学生在充分操作的过程中，体会、理解数学知识，并抽象成清晰的概念。这不仅能使学生更好地理解和认识数学，更重要的是让学生学会了如何学习数学，同时也为其他方面的学习提供了借鉴。比如教学厘米、米的认识时可以从比高矮等实际事例入手，使学生明白了长度单位对于精确测量的意义，再让学生通过测量工具认识这些长度单位，然后动手测量图钉的长度、食指的宽度、书本长宽、平伸两臂的长度、黑板的长度、教室的长宽等。通过实际的操作，感知了厘米、米的长短及这些长度单位的实际运用。

    （五）数学解题能力的培养

    这里所说的解题主要指解决书本上的题目。在中学数学教学中，解题是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技能和必要途径，也是检验知识、运用知识的最基本最重要的一种形式，因而是提高教学质量的重要环节，因此，在教学过程中要重视学生解题能力的培养。培养学生的解题能力可以从以下几方面展开：

    1．培养认真审题的习惯
    审题是解题的第一个环节，只有对问题有正确的认识，才有可能得正确的解题方法，学生在解题时出现错误，或解题时感到困难，往往由于不认真审题或审题错误造成的。
    因此为了使学生形成认真、正确审题的习惯，教师首先要强调审题的重要性，在审题时要明确题意，弄清楚命题的语法结构；其次教师要做出正确的审题示范，善于介绍自己的思维习惯和方法，让学生有例可寻，同时教师还要在学生的解题中捕捉因为不认真审题而导致解题错误的典型事例，对反面教材进行分析，以吸取教训。

    2．注意培养学生对一般典型方法的掌握
    数学问题常常把一种类型的题目以不同的方式呈现，或将一种类型的题目蕴含在另一类题当中，这就要求学生在解题的过程当中，顺利对问题实现转化，即把一个复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉、解过的问题。比如在解分式方程时，通常将它转化为整式方程。
    在数学的解的过程中，转化问题的方法很多，最主要的有以下几种方法，即把问题一般化的方法；把问题特殊化的方法；肢解问题的方法；把问题转化为其他学科问题的方法。教师要引导学生正确将问题实现灵活的转化，但不可把主要精力放在解各种各样的难题上，这样不但加重了学生的负担，也不符合学生的认和规律，应当注意避免。

    3．注意引导学生对解题方法进行总结
    当学生对某一内容作过一定数量的练习后，教师要启发、引导他们找出解决这类问题的方法或要点，帮助他们总结经验，这样不但可以达到事半功倍的效果，而且对提高他们的解题能力也非常有好处。同时，由于专业的训练和多年工作经验的积累，每个教师都有一套经过加工、整理并简化到可以让学生理解和加以有效掌握的解题策略，这些策略的实用性很强，可以让学生少走很多弯路，迅速提高学生的解题能力。

    4．通过“一题多解”培养学生的解题能力
    所谓一题多解就是同一个题目，尽可能考虑多种不同的解题方法。通过一题多解，能够开阔学生的思路，容易调动学生的积极性，对学生综合运用数学知识能力的培养培养非常有帮助。比如有些问题既可以用代数的方法来解，同时又可以用几何的方法来考虑。

    5．通过“一题多变”来培养学生的解题能力
    所谓“一题多变”就是将一个题目适当的进行变换，变化为多个与原题内容不同，但解法相同或相近的题目。这有利于学生视野的开阔，知识的深化，从而达到举一反三、触类旁通，提高学生解决问题的能力。大部分学生在解题时往往就题论题，假如将问题转化成另一种形式出现，他们可能就会觉得陌生，因此，在解题能力训练时，培养学生“一题多变”的能力是非常有必要的。比如说“求一个点和一条直线上所有点的连线中，最短的线段的长度”与“求一个点到一条直线的距离”是同一个问题。再比如说“为什么四个连续的数相乘再加1，就是一个完全平方数”，根据这个问题可以将它作如下的改编：
    （1）分解因式：　
    （2）解方程：　
    （3）试口算：

    6．引导学生对数学命题进行推广
    我们知道，任何一个数学命题都是由“条件”和“结论”两部分构成，正确的命题揭示的是“条件”和“结论”之间的必然联系，一般地说，如果一个命题的条件改变了，那么它的结论也会随之发生变化。把一个命题的特殊条件一般化，也就是去掉某些约束条件，从而推得出更为普遍的结论，这叫做数学命题的推广。
    这就是要求教师在教学中经常告诉学生，平时在解的时候要勤于思考，在解完一道题后，多问几个为什么，看看能否改变题目的条件或结论，或将问题从横、纵两个方面加以引伸，扩展会得到什么新的结论。这样往往能够从一道题的解法获得意想不到的结果，那么所得到的往往就不只是一道题的解法，而是一类题的解决办法。坚持这样思考问题，不但可以加深学生的知识的理解，从本质上把握知识，还可以激发他们在学习的创造精神。

    7．数据处理能力的培养
    数据处理能力是《标准》中新提出来的一个基本能力。现代社会是一个信息化的社会、数字化的社会，所以人们经常要与数字打交道，比如产品的合格率、商品的销售利率、贷款买房等问题都需要收集数据，对数据进行处理，从数据中提取信息从而做出判断，以指导实践，去解决实际问题，这已成为现代公民应具备的一种基本素养。
    因此，现行的新教材中增加了数理统计的内容，在这部分内容的教学过程当中，教师要结合“统计案例”、通过对生活中现实问题的处理，让学生收集数据、处理数据、分析数据、从数据中提取信息，并让学生做出判断，也就是亲身感受通过统计方法处理问题的全过程，在实践当中不断培养学生的数据处理能力。