二、数学问题与数学问题解决

    （一）数学问题

    美国的数学家哈尔莫斯（P·R·Halmos）认为，“问题是数学的心脏…数学的真正的组成部分是问题和解。”
    1988年召开的第六届国际数学教育大会的一份报告指出，“一个（数学）问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境。”
    张奠宙教授在《数学教育学》中认为：所谓有问题，是指一个人面临着某种他所要认识的东西，而对于这种东西他又不能仅仅应用某种典范的解法去解答。
    波利亚在《数学的发现》中指出，所谓‘问题’，就是意味着要去找出适当的行动，以达到一个可见而不能立即可及的目标。
    事实上，问题反映了现有水平与客观需要的矛盾。从系统论的角度看，如果对某人来说，一个系统的全部元素、元素的性质和元素间的关系，都是他所知道的，那么这个系统对于他就是稳定系统。如果这个系统中至少有一个元素、性质和关系是他所不知的，那么这个系统就是一个问题。如果这个问题系统的元素、性质和关系都是有关数学的，那么它就是一个数学问题。
    对于学生来说；数学问题是运用已有的数学概念、理论或方法，经过积极的探索、思考才能解决的问题。而这样的问题应满足下述三个特性:
    （1）接受性：学生愿意接受这个问题，并且具有解决它的知识基础和能力基础。这里，各人对问题的接受是有着各自的状况的，包括内部的动因和外部的动因，也可能仅仅产生于经受解答问题的欢乐愿望。
    （2）障碍性：学生不能直接看出它的解法和答案，而必须经过思考才能解决，也许最初解答尝试没有结果。
    （3）探究性：学生不能按照现成的公式或常规的套路去解，需要进行探索和研究，寻找新的处理方法。

    （二）数学问题解决

    什么是数学问题解决呢？对于这个问题，不同学者的关注点不同，因而有着不同的理解，归纳起来主要有以下几种情况：
    1．认为问题解决是一种心理活动
    问题解决是指人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题，发现它与主观需要的矛盾，而自己却没有对策，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动。
    2．认为问题解决是一种过程
    认为问题解决就是把以前所学的知识运用到新的、不熟悉的情境中，来分析问题、寻求问题处理途径从而解决问题的过程。
    3．问题解决是一种教学类型
    在数学教学当中，应当将问题解决的活动形式看作教和学的类型，不应将其看成课程所附加的东西。
    4．问题解决是目的
    有的学者认为，问题解决能力应当是数学教育的主要目的之一，因为新世纪的学生所处的社会是信息化的社会，瞬息万变的信息社会需要巧干的、会适应复杂情境的劳动者，能善于汲取新思想、能适当各种变化，会解决各种复杂的问题。因此，世界上的许多国家都把提高学生问题解决的能力作为数学教学的主要目的之一。
    我们看到，上述几种对问题解决的解释，虽然在形式上似乎并不一致，但是应该看出它们所强调的共性的东西，即不能将问题解决理解为一种具体的技能，而是贯穿在整个数学教育过程当中。问题解决在教学中为学生提供了一个发现、创新的环境和机会，为教师提供了一条培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径。
    上述各种解释，在形成上似乎并不一致，但是我们应看到它们所强调的共同的东西，即①问题解决不应仅仅理解为一种具体的技能，它是所有学生必须具备的一种能力，人们无论从事何种实践活动都离不开它；②在问题解决的过程中，需要用到分析、综合、抽象、概括、想象等多种智力活动，对于人的发展有着重要作用。③“问题解决”在教学中为学生提供了一个发现、创新的环境和机会，为教师提供了一条培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径。所以，应该是数学教育所体现的一条主线。
    而对于学生来说，“问题解决”是指综合地、创造性运用各种数学知识和方法去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题。在进行问题解决时，学生必须综合所学得的知识，并把它用到新的、困难的状况中去，这就需要学生使用恰当的方法和策略，需要探索和猜想。
    因此，“问题解决”(Problem solving)比传统意义上的“解题”有了很大的发展。传统意义的“解题”只注重结果、注重答案，而现代意义的“问题解决”更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法。“问题解决”的过程是发现的过程，探索的过程，创新的过程；问题解决能力发展的基础是虚心，是好奇和探究的态度，是进行试验和猜测的意向。