第三节 数学问题解决及其教学

    问题解决是对“新数运动”以及现代数学教育改革的反思和调整之后，于1980年由全美教师联合会公布的《关于行动的议程》的文件中首次提出的。
    问题解决提出了一种新的教学模式，它与以前一个定理、公式或一个概念的静态教学不同，它要求学生建构自己的数学知识，在和困难作斗争中探究数学的真理，因而是动态的。也正因如此，许多国家将使学生理解数学的应用，发展他们解决实际问题的能力作为重要目标，我国新一轮课程改革也将问题解决放在了重要位置。《课程标准》中指出“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会”并在课程目标中设立了解决问题领域，揭示了运用数学思维提出问题、分析问题和解决问题的全过程的重要性。因此数学教育中，培养学生数学思考不仅仅是使学生获得数学知识和技能，更重要的是通过数学学习，培养运用数学进行思考、解决问题的能力，以适应未来生活。

    一、数学问题解决的起源分析

    1980年4月，美国教师协会（NCTM）公布了一份指导80年代学校数学教育的纲领性文件《关于行动的议程》(An Agenda for Action——Recommendation for Mathematics of the 1980)。该文件对80年代课程发展提出一些设想，他们提出三条：第一条就提出“必须把问题解决（Problem Solving）作为80年代中学数学的核心”。认为：直到下一个十年，发展解题能力应该是数学教育工作者直接的奋斗目标。在问题解决方面的成绩如何，将是衡量个人和国家所具有的有效标准。要求数学课程围绕问题解决来组织；数学解题的定义和方法应予扩展，使之包括范围更宽的手段和方法；数学教师应创造更有利于问题解决的课堂气氛；应为所有的年级编制传授解题技巧的适当教材；80年代的教学科研应侧重于调查研究问题解决的本质，找到提高解题者能力的有效途径。同时，问题解决需要使用广泛的数学方法，传统的技能远远不够。因此提出十项基本技能：
    （1）解决问题能力；(2)把数学应用于日常生活的能力；(3)对结果合理性的觉察力；（4）近似估计能力；(5)合理计算能力；(6)几何结构；(7)度量；(8)阅读、解释和制作图表、框图的能力；(9)用数学作预报；(10)计算机文化。
    1982年，英国数学教育的权威性文件《考克罗夫特（Cockcroft）报告》响应了美国提出的这一口号，明确提出：数学教育的核心是培养解决数学问题的能力，强调数学只有应用于各种情形才是有意义的。以后各国纷纷响应，至1984年第五届国际数学教育大会（ICME—5），“问题解决”已成为大会最主要的议题之一。
    1989年，日本在新修改的《学习指导要领》中，正式将“课题学习”的内容纳入其中，使“问题解决”的思想以法律的形式确定下来，日本的“课题学习”就是以“问题解决”为特征的数学课。
    现在，世界上几乎所有的国家都将提高学生问题解决的能力作为数学教育的主要目标之一，问题解决已成为国际数学教育研究的一个热点。
    在我国，对“问题解决”的研究虽然起步较晚，但发展十分迅速，并受到数学教育界的普遍重视。近二十年来，随着人们对“问题解决”认识的提高及观念的转变，对这一专题的研究正在由议论转为探究，由现象描述转为实质探索。正是这一转变过程的具体体现，在各种升学考试中逐步地出一些“应用问题”、“开放性问题”作为考题，使“问题解决”进入了我国的教学阵地，并受到数学教育界的普遍重视。
    我国的中学数学教学与国际上其它一些国家的中学数学教学比较，具有重视基础知识教学，基本技能训练，数学计算、推理和空间想象能力的培养等显著特点，因而我国中学生的数学基本功比较扎实，学生的整体数学水平较高。然而，改革开放也使我国数学教育界看到了我国中学数学教学的不足。其中比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多；学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。为了解决这些问题，一些学者认为，其有效途径是在中学数学教育中体现问题解决的思想。
    问题解决作为学习数学课程的一个“实践性”环节，不仅能使学习者深入地理解数学概念，全面系统地掌握数学知识，进一步领会、掌握各种定理、公式和法则，提高自己的技能技巧，巩固所学的知识。同时，通过解决探索性问题、应用问题、开放性问题、竞赛问题等丰富的数学活动，可使学生学会如何根据现实世界中的数学事实、现象、关系等，经过观察、比较、分析、综合、抽象、概括等步骤，提出科学的猜想和假设；学会如何运用已有的数学理论和方法去解决一些复杂的数学问题，从而提高分析问题、解决问题的能力；也能使学生品尝到解决数学问题的喜怒哀乐，领略到数学的真谛，磨练自己的意志。所以，“问题解决”和过去单纯地应用定理、公式解题不同，它要求学生以积极探索的态度，综合运用已具有的数学基础知识、基本技能和能力，创造性地解决来自数学课或实际生活和生产实际中的问题，在和困难作斗争中探究数学真理，进而使自身的创新精神和实践能力得到提高。