六、数学概念的教学

    我们知道，数学离不开推理，推理依靠判断，而判断又是以概念为基础的，因此，数学概念是数学的基础。另外，深入理解数学概念的过程会使抽象逻辑思维得到锻炼，对提高思维能力有促进作用，因此，在数学教学中一定要重视概念的教学。在数学概念的教学中，由于概念本身的难易程度，概念本身的特点以及要求掌握的程度不同，因此对各个数学概念教学的具体要求也不同。一般来说，对数学中一些重要概念的教学时，不但要使学生掌握概念的内涵和外延以及其表达形式，还要了解有关概念之间的关系，在数学知识体系中不断加深扩大对概念的认识，成为系统知识，并要求能够运用概念来解决数学问题。为了达到这样的要求，建议在数学概念的教学时，应采用如下教学法：

    （一）概念引入的方法要得当

    在教学过程中，一定要让学生感觉到引入这个概念是必须而且必然的，也就是重视概念的引入，概念的引入是概念教学的第一步，也是形成概念的重要基础。概念的引入通过采用如下的教学手段：

    1．从概念的来源引入
    每个概念都有其产生和发展的过程，而且中学数学中的大部分概念都有它的现实模型，对于中学数学概念的具体内容，学生在生活和学习过程中，或多或少都有过接触。因此从认识论的观点来看，在引入概念时，教师应该根据各个概念产生发展的具体途径，让学生依据已有的材料和知识做出符合一定经验与事实推测的想象，让学生经历发现新概念的最初阶段，让学生不单知道其然，更要让他知道其所以然。
    比如负数的引入，学生在生活当中已接触过大量的具有相反意义的量，因此，在教学过程中从具有相反意义的量来引出负数的概念是很可行的。但教师一定要向学生明确，在数学当中引入负数有它自己独特的意义，也就是说，负数的引入可以解决小数减大数的问题，这也是数学本身发展的需要。

    2．由已知引未知概念引入法
    在数学问题解决中，常常采用的处理法就是将未知的问题尽可能的向已知知识转化，在数学概念教学中，也可以采用从已知概念引入新概念的方法，这是符合学生的认知规律的。比如，在引入二元一次方程的概念时，就可先让同学回忆什么是一元一次方程。

    3．比较法引入数学概念
    著名的教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。如果我们面前出某种新东西，而我们既不能拿它去同什么东西比较，又不能把它同什么东西区别开来……，那么我们就不能对它形成一种思想，也不能对它说出一句话来。”这句话恰如其分是说明了比较法的重要性。
    按照比较指向的对象来分，比较法可分为同类事物间进行比较，以及不同类，但具有相似或相关事物间进行的比较。两种比较方法在数学教学中都是非常必要的，但在知识的领会阶段，重要的还是同类事物间的比较，因为这样更容易向学生明确概念内涵；而后再应用第二种比较法，这便于学生将知识之间建立联系，形成一个系统，从而对知识有更深刻的领悟。

    （二）明确数学概念的内涵和外延

    在数学概念教学时，教师要重点指导学生认识定义中的属概念和种差，认识被定义的概念既有它的属概念的一切属性，同时又有它自己的特性，这样就向学生明确了概念的内涵；为了使学生加深对所学概念的认识，应该让学生根据定义做出判断，以此来明确概念所涉及的对象范围，也就是概念的外延。当然，根据概念定义方式的不同，可以采用概念划分的方法等，来提示概念的内涵和外延。
    比如，关于等腰三角形概念的教学，应指出等腰三角形是一种三角形，也就是说它是由三条线段首尾顺次相接所组成的图形，它有着一般三角形都具有的一切性质。同时，又要重点强调，等腰三角形具有两条边相等的这个特性，这也是其它一般三角形所不具有的性质，也就是等腰三角形的种差，这样的明确之后，学生就会对等腰三角形概念的内涵有了全面认识，那么学生就很容易对一个三角形是否是等腰三角形做出正确的判断，也就明确了概念的外延。

    （三）概念的表述要准确

    数学语言是力求精确、科学，而数学概念的定义更是多一字不可，少一字不行的，因此，在概念形成之后，应及时地让学生用语言准确地表述出来，以加深对概念的印象，促进学生思维的深刻性。
    例如，一元二次方程是这样定义的：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二，系数不等于0的方程叫一元二次方程。而学生往往会忽略一些关键成分，比如“只”、“系数不等于0”，这时教师就应引导学生辨别有这些字和没有这些字的区别。如果把“只”去掉，那么方程当中还可能含有其它的未知数，也就不是“一元”了；如果丢掉“系数不等于0”，那么很可能最高次项的系数是0，也就不存在二次项，也就不能称其为二次方程了。通过这样的剖析，不但让学生体会了数学语言的严谨性，而且培养了他们的语言表达能力，也锻炼了思维能力。

    （四）概念的巩固

    巩固概念是概念教学的重要环节，概念一旦获得后，如果不及时巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应在引入、形成概念生，引导学生正确复述概念；其次是灵活的应用概念。而概念的复述在前面已经涉及到了，所以这里主要谈谈概念的应用。
    概念的应用就是指学生在领会概念的基础上，运用概念去解决同类事物的过程。数学的运算、推理、证明必须以有关概念为依据，而且灵活地运用概念，不但可以使学生更牢固的掌握数学概念，还对提高学生提高分析问题与解决问题的能力有很大帮助。
    比如，在证明等腰三角形底边上的中线、高线以及顶角平分线三线合一的性质时，就要用到等腰三角形定义中有两条边相等这一特点。
    数学概念是数学知识最重要、最基础的组成部分，是进行数学基础理论的学习和数学推理、判断的依据，也是培养学生能力、发展学生的智力的重要因素，因此，教师在教学过程中要重视数学概念的教学。在教学过程中，应针对不同的数学概念采用不用的讲授方法，并引导学生入时的巩固概念，应用概念，不断提升教学质量。
    总之，概念教学大致要经历这样几个阶段：概念的提出、形成、明确以及巩固。为此有人把掌握概念的过程归纳为五个阶段：引进、酝酿、建立、巩固、发展。具体来说，对一个新概念的教学，一般要求：
    1．目的性教学，揭示为什么要研究新概念。一般通过两个途径，一是生产、生活中的实际需要；二是原有概念的缺陷。例如，由于在实数集中方程无解，于是需要扩大数集。
    目的性教学对调动学生学习兴趣，规范研究的方向，有着不可忽视的作用。
    2．发现性教学。显示出用来抽象出新概念的材料，引导学生发现这些材料的共同特征及规律。
    通过发现性教学，培养学生分析和综合事物的能力，并初步认识概念的内涵和外延。
    3．归纳性教学。把感性认识上升为理性认识，把已发现的对象的特征用概括语言描述出来，最后用定义的形式反映概念。
    4．巩固性教学。着重于重复、印证、再现等正面巩固。其中印证和再现，并不是机械重复定义，而可以通过用定义去判断和推理某些对象的属性，在运用中灵活生动地复述定义，或强调定义中容易被忽略和混淆的某一侧面等等。
    5．发展性教学。这一阶段主要抓引伸、联系、变化。
    引伸：如中的a，b可以是具体数字，也可以是表示数的式。
    联系：主要是概念与其它概念的联系；理论与实际的联系(利用新建立的概念去解决实际问题)。
    变化：通过变式，加深认识。例如，长方形的面积和周长是不是函数关系？这样一个变化，便从反面强调了函数概念。
    总之，概念教学要特别强调下述重要的指导思想：
    1．在体系下把握概念(即把概念放在指定的知识结构下来认知)；
    2．按一定的认知结构来教学(具体——一般——具体；多采用对比、比较、归纳等)。

    附 义务教育课程标准实验教科书数学（7-9年级）“同类项”教学案例
    一、教材内容：华东师大出版社出版，七年级上册第三章整式的加减§3.4.1
    二、教学目标
    1．理解并掌握同类项的概念；
    2．经历探索和体验同类项有关概念的获得过程，会识别多项式中的同类项。
    3．培养学生分类归纳的能力，进一步发展学生有条理的思考习惯。
    三、教学内容分析
    教学重点：会识别多项式中的同类项
    教学难点：培养学生分类归纳的能力
    四、教法学法设计
    以教师的精讲、点拨引导为主，辅以引导发现、合作交流
    五、教学过程
    （一）创设问题情景，引入新课
    1．填空：多项式有_ _项，它们分别是_ _、_ _、_ _、_ _、_ _、_ _。
    2．有句成语，叫“物以类聚”，意思是说，同一类型的东西可以聚在一起。当然，不同类型的东西就不能随意聚集。比如，收拾房间，书放上书架，衣服放入衣橱，碗盘放进碗橱……而不能把碗朝衣橱里放，衣服堆到书架上……再如，妈妈叫你去买几斤面，并且打半斤油，请问：仅拿一只面口袋，把面和油都放进口袋行吗？这就是“物以类聚”。
    在数学里，时常用到这种同类相聚的思想。看前面这个多项式的各个项，就可以把具有相同特征的项进行归类。你认为上述多项式中哪些项可以归为一类？
    （与可归为一类，与可归为一类，-3与5也可归为一类）
    （二）探索规律，总结同类项定义
    1．问题：上面被归为同一类的项有什么特征？
    （先引导学生分析与只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是2，y的指数都是1；与也只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是1，y的指数都是2。然后归纳为：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等。）
    2．同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。
    说明：
    （1）两个相同：字母相同，同字母的指数相同。
    （2）两个无关：与系数大小无关，与字母顺序无关。
    思考：所有的常数项都是同类项吗？（是）
    练习：
    · 与是同类项吗？为什么？
    · 与、abc与-2abc、4st与-5ts是同类项吗？为什么？
    （三）根据概念，尝试解决问题
    例1 指出下列多项式中的同类项：
    （1）3x-2y+1+3y-2x-5
    （2）
    解：（1） 3x与-2x ，-2y与+3y，-5与+1分别是同类项。
    （2）与,+与分别是同类项。
    例2 k取何值时，与是同类项?
    分析：先假定与是同类项，然后求k。已知所含字母相同，根据同类项的定义，还需相同字母的指数相等，所以k=2。
    解：当k=2时，与是同类项。
    引申1：k为何值时，与是同类项？
    引申2：m、n为何值时，与是同类项？
    （四）巩固练习
    练习第1.2.3.题，（根据情况适当补充部分题目）。
    （五）小结（由学生回答，然后教师总结）
    1．什么叫同类项？
    2．所有的常数项都是同类项吗？
    （六）作业
    p.114 习题3.4 第 1.2.3题。
    六、点评
    这是一片基于传统内容的新课程初中数学教学设计，其教学内容单调，很难联系、现实情景。在设计中，冯老师思路清晰，目标明确：在多项式的基础上自然引入新课，从一开始就注意体现数学的分类思想；然后，重点引导学生探索同类项的特征，并总结出同类项的定义；继而，进行同类项的辨析与引申，为以后的合并同类项打好基础。